圆、扇形、弓形的面积（精选8篇）
圆、扇形、弓形的面积 篇1
(一)
教学目标：
1、掌握扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算；
2、通过扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力；
3、在扇形面积公式的推导和例题教学过程中，渗透“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩证思想.
教学重点：扇形面积公式的导出及应用.
教学难点：对图形的分析.
教学活动设计：
（一）复习（圆面积）
已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少？
S=πR2
我们在求面积时往往只需要求出圆的一部分面积，如图中阴影图形的面积.为了更好研究这样的图形引出一个概念.
扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.
提出新问题：已知⊙O半径为R，求圆心角n°的扇形的面积.
（二）迁移方法、探究新问题、归纳结论
1、迁移方法
教师引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤：
（1）圆周长C=2πR；
（2）1°圆心角所对弧长=；
（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；
（4）n°圆心角所对弧长=.
归纳结论：若设⊙O半径为R， n°圆心角所对弧长l，则 （弧长公式）
2、探究新问题
教师组织学生对比研究：
（1）圆面积S=πR2；
（2）圆心角为1°的扇形的面积=；
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；
（4）圆心角为n°的扇形的面积=.
归纳结论：若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形，则
S扇形= （扇形面积公式）
（三）理解公式
教师引导学生理解：
（1）在应用扇形的面积公式S扇形=进行计算时，要注意公式中n的意义.n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）；
提出问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？（教师组织学生探讨）
S扇形=lR
想一想：这个公式与什么公式类似？（教师引导学生进行，或小组协作研究）
与三角形的面积公式类似，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作底，R看作高就行了.这样对比，帮助学生记忆公式.实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连结各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限.要让学生在理解的基础上记住公式.
（四）应用
练习：1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S扇=____.
2、已知扇形面积为 ，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=____.
3、已知半径为2的扇形，面积为 ，则它的圆心角的度数=____.
4、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积，S扇=____.
5、已知半径为2的扇形，面积为 ，则这个扇形的弧长=____.
（ ，2，120°， ， ）
例1、已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积.
学生独立完成，对基础较差的学生教师指导
（1）怎样求圆环的面积？
（2）如果设外接圆的半径为R，内切圆的半径为r， R、r与已知边长a有什么联系？
解：设正三角形的外接圆、内切圆的半径分别为R，r，面积为S1、S2.
S=.
∵ ，∴S=.
说明：要注意整体代入.
对于教材中的例2，可以采用典型例题中第4题，充分让学生探究.
课堂练习：教材P181练习中2、4题.
（五）总结
知识：扇形及扇形面积公式S扇形= ，S扇形=lR.
方法能力：迁移能力，对比方法；计算能力的培养.
（六）作业 教材P181练习1、3；P187中10.
(二)
教学目标：
1、在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上，会计算弓形面积；
2、培养学生观察、理解能力，综合运用知识分析问题和解决问题的能力；
3、通过面积问题实际应用题的解决，向学生渗透理论联系实际的观点.
教学重点：扇形面积公式的导出及应用.
教学难点：对图形的分解和组合、实际问题数学模型的建立.
教学活动设计：
（一）概念与认识
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
弦AB把圆分成两部分，这两部分都是弓形.弓形是一个最简单的组合图形之一.
（二）弓形的面积
提出问题：怎样求弓形的面积呢？
学生以小组的形式研究，交流归纳出结论：
（1）当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差；
（2）当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和；
（3）当弓形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半.
理解：如果组成弓形的弧是半圆，则此弓形面积是圆面积的一半；如果组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积；如果组成弓形的弧是优弧，则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积.也就是说：要计算弓形的面积，首先观察它的弧属于半圆？劣弧？优弧？只有对它分解正确才能保证计算结果的正确.
（三）应用与反思
练习：
(1)如果弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______；
(2)如果弓形的弧所对的圆心角为300°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______.
（学生独立完成，巩固新知识）
例3、水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m.求截面上有水的弓形的面积.(精确到0.01m2)
教师引导学生并渗透数学建模思想，分析：
（1）“水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你提供了什么数学信息？
（2）求截面上有水的弓形的面积为你提供什么信息？
（3）扇形、三角形、弓形是什么关系，选择什么公式计算？
学生完成解题过程，并归纳三角形OAB的面积的求解方法.
反思：①要注重题目的信息，处理信息；②归纳三角形OAB的面积的求解方法，根据条件特征，灵活应用公式；③弓形的面积可以选用图形分解法，将它转化为扇形与三角形的和或差来解决.
例4、已知：⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心，以BC为半径作 .求 与 围成的新月牙形ACED的面积S.
解：∵ ，
有∵，
， ，
∴ .
组织学生反思解题方法：图形的分解与组合；公式的灵活应用.
（四）总结
1、弓形面积的计算：首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧，从而选择分解方案；
2、应用弓形面积解决实际问题；
3、分解简单组合图形为规则圆形的和与差.
（五）作业 教材P183练习2；P188中12.
(三)
教学目标：
1、掌握简单组合图形分解和面积的求法；
2、进一步培养学生的观察能力、发散思维能力和综合运用知识分析问题、解决问题的能力；
3、渗透图形的外在美和内在关系.
教学重点：简单组合图形的分解.
教学难点：对图形的分解和组合.
教学活动设计：
（一）知识回顾
复习提问：1、圆面积公式是什么？2、扇形面积公式是什么？如何选择公式？3、当弓形的弧是半圆时，其面积等于什么？4、当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？5、当弓形的弧是优弧时，其面积怎样求？
（二）简单图形的分解和组合
1、图形的组合
让学生认识图形，并体验图形的外在美，激发学生的研究兴趣，促进学生的创造力.
2、提出问题：正方形的边长为a，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形(阴影部分)的面积.
以小组的形式协作研究，班内交流思想和方法，教师组织.给学生发展思维的空间，充分发挥学生的主体作用.
归纳交流结论：
方案1.S阴=S正方形-4S空白.
方案2、S阴=4S瓣=4 (S半圆-S△AOB)
=2S圆-4S△AOB=2S圆-S正方形ABCD
方案3、S阴=4S瓣=4 (S半圆-S正方形AEOF)
=2S圆-4S正方形AEOF =2S圆-S正方形ABCD
方案4、S阴=4 S半圆-S正方形ABCD
……………
反思：①对图形的分解不同，解题的难易程度不同，解题中要认真观察图形，追求最美的解法；②图形的美也存在着内在的规律.
练习1：如图，圆的半径为r，分别以圆周上三个等分点为圆心，以r为半径画圆弧，则阴影部分面积是多少?
分析：连结OA，阴影部分可以看成由六个相同的弓形AmO组成.
解：连结AO，设P为其中一个三等分点，
连结PA、PO，则△POA是等边三角形.
.
∴
说明：① 图形的分解与重新组合是重要方法；②本题还可以用下面方法求：若连结AB，用六个弓形APB的面积减去⊙O面积，也可得到阴影部分的面积.
练习2：教材P185练习第1题
例5、 已知⊙O的半径为R.
（1）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的周长与⊙O直径（2R）的比值；
（2）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的面积与圆面积的比值(保留两位小数).
例5的计算量较大，老师引导学生完成.并进一步巩固正多边形的计算知识，提高学生的计算能力.
说明：从例5(1)可以看出：正多边形的周长与它的外接圆直径的比值，与直径的大小无关.实际上，古代数学家就是用逐次倍增正多边形的边数，使正多边形的周长趋近于圆的周长，从而求得了π的各种近似值.从(2)可以看出，增加圆内接正多边形的边数，可使它的面积趋近于圆的面积
（三）总结
1、简单组合图形的分解；
2、进一步巩固了正多边形的计算以，巩固了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积的计算.
3、进一步理解了正多边形和圆的关系定理.
（四）作业 教材P185练习2、3；P187中8、11.
探究活动
四瓣花形
在边长为1的正方形中分别以四个顶点为圆心，以l为半径画弧所交成的“四瓣梅花”图形，如图 (1)所示.
再分别以四边中点为圆心，以相邻的两边中点连线为半径画弧而交成的“花形”，如图 (12)所示.
探讨：（1）两图中的圆弧均被互分为三等份.
（2）两朵“花”是相似图形.
（3）试求两“花”面积
提示：分析与解 (1)如图21所示，连结PD、PC，由PD=PC=DC知，∠PDC=60°.
从而，∠ADP=30°.
同理∠CDQ=30°.故∠ADP=∠CDQ=30°，即，P、Q是AC弧的三等分点.
由对称性知，四段弧均被三等分.
如果证明了结论(2)，则图 (12)也得相同结论.
(2)如图（22）所示，连结E、F、G、H所得的正方形EFGH内的花形恰为图 (1)的缩影.显然两“花”是相似图形；其相似比是AB ﹕EF =﹕1.
(3)花形的面积为： ， .
圆、扇形、弓形的面积 篇2
(一)
教学目标 ：
1、掌握扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算；
2、通过扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力；
3、在扇形面积公式的推导和例题教学过程 中，渗透“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩证思想.
教学重点：扇形面积公式的导出及应用.
教学难点 ：对图形的分析.
教学活动设计：
（一）复习（圆面积）
已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少？
S=πR2
我们在求面积时往往只需要求出圆的一部分面积，如图中阴影图形的面积.为了更好研究这样的图形引出一个概念.
扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.
提出新问题：已知⊙O半径为R，求圆心角n°的扇形的面积.
（二）迁移方法、探究新问题、归纳结论
1、迁移方法
教师引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤：
（1）圆周长C=2πR；
（2）1°圆心角所对弧长=；
（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；
（4）n°圆心角所对弧长=.
归纳结论：若设⊙O半径为R， n°圆心角所对弧长l，则 （弧长公式）
2、探究新问题
教师组织学生对比研究：
（1）圆面积S=πR2；
（2）圆心角为1°的扇形的面积=；
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；
（4）圆心角为n°的扇形的面积=.
归纳结论：若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形，则
S扇形= （扇形面积公式）
（三）理解公式
教师引导学生理解：
（1）在应用扇形的面积公式S扇形=进行计算时，要注意公式中n的意义.n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）；
提出问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？（教师组织学生探讨）
S扇形=lR
想一想：这个公式与什么公式类似？（教师引导学生进行，或小组协作研究）
与三角形的面积公式类似，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作底，R看作高就行了.这样对比，帮助学生记忆公式.实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连结各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限.要让学生在理解的基础上记住公式.
（四）应用
练习：1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S扇=____.
2、已知扇形面积为 ，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=____.
3、已知半径为2的扇形，面积为 ，则它的圆心角的度数=____.
4、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积，S扇=____.
5、已知半径为2的扇形，面积为 ，则这个扇形的弧长=____.
（ ，2，120°， ， ）
例1、已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积.
学生独立完成，对基础较差的学生教师指导
（1）怎样求圆环的面积？
（2）如果设外接圆的半径为R，内切圆的半径为r， R、r与已知边长a有什么联系？
解：设正三角形的外接圆、内切圆的半径分别为R，r，面积为S1、S2.
S=.
∵ ，∴S=.
说明：要注意整体代入.
对于教材中的例2，可以采用典型例题中第4题，充分让学生探究.
课堂练习：教材P181练习中2、4题.
（五）总结
知识：扇形及扇形面积公式S扇形= ，S扇形=lR.
方法能力：迁移能力，对比方法；计算能力的培养.
（六）作业 教材P181练习1、3；P187中10.
(二)
教学目标 ：
1、在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上，会计算弓形面积；
2、培养学生观察、理解能力，综合运用知识分析问题和解决问题的能力；
3、通过面积问题实际应用题的解决，向学生渗透理论联系实际的观点.
教学重点：扇形面积公式的导出及应用.
教学难点 ：对图形的分解和组合、实际问题数学模型的建立.
教学活动设计：
（一）概念与认识
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
弦AB把圆分成两部分，这两部分都是弓形.弓形是一个最简单的组合图形之一.
（二）弓形的面积
提出问题：怎样求弓形的面积呢？
学生以小组的形式研究，交流归纳出结论：
（1）当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差；
（2）当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和；
（3）当弓形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半.
理解：如果组成弓形的弧是半圆，则此弓形面积是圆面积的一半；如果组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积；如果组成弓形的弧是优弧，则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积.也就是说：要计算弓形的面积，首先观察它的弧属于半圆？劣弧？优弧？只有对它分解正确才能保证计算结果的正确.
（三）应用与反思
练习：
(1)如果弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______；
(2)如果弓形的弧所对的圆心角为300°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______.
（学生独立完成，巩固新知识）
例3、水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m.求截面上有水的弓形的面积.(精确到0.01m2)
教师引导学生并渗透数学建模思想，分析：
（1）“水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你提供了什么数学信息？
（2）求截面上有水的弓形的面积为你提供什么信息？
（3）扇形、三角形、弓形是什么关系，选择什么公式计算？
学生完成解题过程，并归纳三角形OAB的面积的求解方法.
反思：①要注重题目的信息，处理信息；②归纳三角形OAB的面积的求解方法，根据条件特征，灵活应用公式；③弓形的面积可以选用图形分解法，将它转化为扇形与三角形的和或差来解决.
例4、已知：⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心，以BC为半径作 .求 与 围成的新月牙形ACED的面积S.
解：∵ ，
有∵，
， ，
∴ .
组织学生反思解题方法：图形的分解与组合；公式的灵活应用.
（四）总结
1、弓形面积的计算：首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧，从而选择分解方案；
2、应用弓形面积解决实际问题；
3、分解简单组合图形为规则圆形的和与差.
（五）作业 教材P183练习2；P188中12.
(三)
教学目标 ：
1、掌握简单组合图形分解和面积的求法；
2、进一步培养学生的观察能力、发散思维能力和综合运用知识分析问题、解决问题的能力；
3、渗透图形的外在美和内在关系.
教学重点：简单组合图形的分解.
教学难点 ：对图形的分解和组合.
教学活动设计：
（一）知识回顾
复习提问：1、圆面积公式是什么？2、扇形面积公式是什么？如何选择公式？3、当弓形的弧是半圆时，其面积等于什么？4、当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？5、当弓形的弧是优弧时，其面积怎样求？
（二）简单图形的分解和组合
1、图形的组合
让学生认识图形，并体验图形的外在美，激发学生的研究兴趣，促进学生的创造力.
2、提出问题：正方形的边长为a，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形(阴影部分)的面积.
以小组的形式协作研究，班内交流思想和方法，教师组织.给学生发展思维的空间，充分发挥学生的主体作用.
归纳交流结论：
方案1.S阴=S正方形-4S空白.
方案2、S阴=4S瓣=4 (S半圆-S△AOB)
=2S圆-4S△AOB=2S圆-S正方形ABCD
方案3、S阴=4S瓣=4 (S半圆-S正方形AEOF)
=2S圆-4S正方形AEOF =2S圆-S正方形ABCD
方案4、S阴=4 S半圆-S正方形ABCD
……………
反思：①对图形的分解不同，解题的难易程度不同，解题中要认真观察图形，追求最美的解法；②图形的美也存在着内在的规律.
练习1：如图，圆的半径为r，分别以圆周上三个等分点为圆心，以r为半径画圆弧，则阴影部分面积是多少?
分析：连结OA，阴影部分可以看成由六个相同的弓形AmO组成.
解：连结AO，设P为其中一个三等分点，
连结PA、PO，则△POA是等边三角形.
.
∴
说明：① 图形的分解与重新组合是重要方法；②本题还可以用下面方法求：若连结AB，用六个弓形APB的面积减去⊙O面积，也可得到阴影部分的面积.
练习2：教材P185练习第1题
例5、 已知⊙O的半径为R.
（1）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的周长与⊙O直径（2R）的比值；
（2）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的面积与圆面积的比值(保留两位小数).
例5的计算量较大，老师引导学生完成.并进一步巩固正多边形的计算知识，提高学生的计算能力.
说明：从例5(1)可以看出：正多边形的周长与它的外接圆直径的比值，与直径的大小无关.实际上，古代数学家就是用逐次倍增正多边形的边数，使正多边形的周长趋近于圆的周长，从而求得了π的各种近似值.从(2)可以看出，增加圆内接正多边形的边数，可使它的面积趋近于圆的面积
（三）总结
1、简单组合图形的分解；
2、进一步巩固了正多边形的计算以，巩固了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积的计算.
3、进一步理解了正多边形和圆的关系定理.
（四）作业 教材P185练习2、3；P187中8、11.
探究活动
四瓣花形
在边长为1的正方形中分别以四个顶点为圆心，以l为半径画弧所交成的“四瓣梅花”图形，如图 (1)所示.
再分别以四边中点为圆心，以相邻的两边中点连线为半径画弧而交成的“花形”，如图 (12)所示.
探讨：（1）两图中的圆弧均被互分为三等份.
（2）两朵“花”是相似图形.
（3）试求两“花”面积
提示：分析与解 (1)如图21所示，连结PD、PC，由PD=PC=DC知，∠PDC=60°.
从而，∠ADP=30°.
同理∠CDQ=30°.故∠ADP=∠CDQ=30°，即，P、Q是AC弧的三等分点.
由对称性知，四段弧均被三等分.
如果证明了结论(2)，则图 (12)也得相同结论.
(2)如图（22）所示，连结E、F、G、H所得的正方形EFGH内的花形恰为图 (1)的缩影.显然两“花”是相似图形；其相似比是AB ﹕EF =﹕1.
(3)花形的面积为： ， .
圆、扇形、弓形的面积 篇3
教学目标：
1、简单组合图形的分解；
3、通过简单组合图形的分解，培养学生的观察能力、发散思维能力和综合运用知识分析问题、解决问题的能力.
4、通过对s△与s扇形关系的探讨，进一步研究正多边形与圆的关系，培养学生抽象思维能力和归纳概括能力.
教学重点：
简单组合图形的分解.
教学难点：
正确分解简单的组合图形.
教学过程：
一、新课引入：
上节课学习了弓形面积的计算，并且从中获得了简单组合图形面积的计算可转化为规则图形的和与差来解决的方法.今天我们继续学习“7.20圆、扇形、弓形的面积(三)”，巩固化简单组合图形为规则图形和与差的方法.
学生在学习弓形面积计算的基础上，获得了通过分解简单组合图形，计算其面积的方法.但要正确分解图形，还需一定题量的练习，所以本堂课为学生提供练习题让学生们互相切磋、探讨.通过正多边形的有关计算的复习进一步理解正多边形与圆的关系，随着正多边形边数增加，周长越来越趋向于圆的周长，面积越来越趋向于圆的面积，使学生初步体会极限的思想，了解s△与s扇形之间的关系.
二、新课讲解：
(复习提问)：1.圆面积公式是什么？2.扇形面积公式是什么？如何选择公式？3.当弓形的弧是半圆时，其面积等于什么？4.当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？5.当弓形的弧是优弧时，其面积怎样求？(以上各题均安排中下生回答.)
(幻灯显示题目)：如图7-168，已知⊙o上任意一点c为圆心，以r
从题目中可知⊙o的半径为r，“以⊙o上任意一点c为圆心，以r为半径作弧与⊙o相交于a、b.”为我们提供的数学信息是什么？(安排中上生回答：a、b到o、c的距离相等，都等于oc等于r.)
转化为弓形面积求呢？若能，辅助线应怎样引？(安排中等生回答：能，连结ab.)
大家观察图形不难发现我们所求图形实质是两个弓形的组合，即
倍？(安排中下生回答：因已知oa=oc=ac所以△oac是等边三角
同学们讨论研究一下，s△aob又该如何求呢？(安排中上等生回答：求s△aob，需知ab的长和高的长，所以设oc与ab交点为d.∵∠aoc=60°，oa=r∴解rt△aod就能求出ab与高od.)连结oc交ab于d怎么就知od⊥ab？(安排中等生回答：根据垂径定理∵c是ab中点.)
同学们互相研究看，此题还有什么方法？
下面给出另外两种方法，供参考：
幻灯展示题目：正方形的边长为a，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形(阴影部分)的面积.
请同学们仔细观察图形，思考如何分解这个组合图形.同学间互相讨论、研究、交流看法：
现将学生可能提出的几种方案列出，供参考：
方案1.s阴=s正方形-4s空白.观察图形不难看出sⅱ+sⅳ=s正方形-
方案2.观察图形，由于正方形abcd∴∠aob=90°，由正方形的轴对称性可知阴影部分被分成八部分.观察发现半圆aob的面积-△
即可.即s阴=4s瓣而s瓣=s半⊙-s△aob∴s阴=4.(s半⊙-s△aob)=2s⊙-4s△aob=2s⊙-s正方形.
方案4.观察扇形eao，一瓣等于2个弓形，一个s弓形=s扇oa-
方案5.观察rt△abc部分.用半圆boc与半圆aob去盖rt△abc，发现这两个半圆的和比rt△abc大，大出一个花瓣和两个弓形，而这两个弓形的和就又是一个瓣.因此有2个s瓣=2个s半圆-srt△abc=
方案6.用四个半圆盖正方形，发现其和比正方形大，大的部分恰是s即：
在学生们充分讨论交流之后，要求学生仔细回味展示出来的不同解法.尤其要琢磨这些解法是怎样观察、思考的.
幻灯展示练习题：1.如图7-176，已知正△abc的半径为r，则它的外接圆周长是____；内切圆周长是____；它的外接圆面积是____；
2.如图7-177，已知正方形abcd的半径r，则它的外接圆周长是____；内切圆周长是____；它的外接圆面积是____；它的内切圆面积
3.如图7-178，已知正六边形abcdef的半径r，则它的外接圆的周长是____；内切圆周长是____；它的外接圆
将上面三片复合到一起.如图7-179，让学生观察，随着正多边形边数的增加，周长和面积有什么变化？(安排中等学生回答：随着正多边形边数的增加，周长越来越接近圆的周长，面积越来越接近圆的面积.)正因为如此，所以古代人用增加正多边形边数的方法研究圆周率π，研究圆的周长与圆的面积的计算.
大家再观察，随着正多边形边数的增加，边长越来越接近于弧，再看正多边形的边心距越来越接近于圆的半径，所以以边长为底，边心距
三、课堂小结：
安排学生归纳所学知识内容：1.简单组合图形的分解；2.复习了正多边形的计算以及以此为例，复习了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积的计算.进一步理解了正多边形和圆的关系定理.
四、布置作业
教材p185.练习1、2、3；p.187中8、11.
圆、扇形、弓形的面积 篇4
(一)
教学目标 ：
1、掌握扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算；
2、通过扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力；
3、在扇形面积公式的推导和例题教学过程 中，渗透“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩证思想.
教学重点：扇形面积公式的导出及应用.
教学难点 ：对图形的分析.
教学活动设计：
（一）复习（圆面积）
已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少？
S=πR2
我们在求面积时往往只需要求出圆的一部分面积，如图中阴影图形的面积.为了更好研究这样的图形引出一个概念.
扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.
提出新问题：已知⊙O半径为R，求圆心角n°的扇形的面积.
（二）迁移方法、探究新问题、归纳结论
1、迁移方法
教师引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤：
（1）圆周长C=2πR；
（2）1°圆心角所对弧长= ；
（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；
（4）n°圆心角所对弧长= .
归纳结论：若设⊙O半径为R， n°圆心角所对弧长l，则 （弧长公式）
2、探究新问题
教师组织学生对比研究：
（1）圆面积S=πR2；
（2）圆心角为1°的扇形的面积= ；
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；
（4）圆心角为n°的扇形的面积= .
归纳结论：若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形，则
S扇形= （扇形面积公式）
（三）理解公式
教师引导学生理解：
（1）在应用扇形的面积公式S扇形= 进行计算时，要注意公式中n的意义.n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）；
提出问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？（教师组织学生探讨）
S扇形= lR
想一想：这个公式与什么公式类似？（教师引导学生进行，或小组协作研究）
与三角形的面积公式类似，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作底，R看作高就行了.这样对比，帮助学生记忆公式.实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连结各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限.要让学生在理解的基础上记住公式.
（四）应用
练习：1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S扇=____.
2、已知扇形面积为 ，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=____.
3、已知半径为2的扇形，面积为 ，则它的圆心角的度数=____.
4、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积，S扇=____.
5、已知半径为2的扇形，面积为 ，则这个扇形的弧长=____.
（ ，2，120°， ， ）
例1、已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积.
学生独立完成，对基础较差的学生教师指导
（1）怎样求圆环的面积？
（2）如果设外接圆的半径为R，内切圆的半径为r， R、r与已知边长a有什么联系？
解：设正三角形的外接圆、内切圆的半径分别为R，r，面积为S1、S2.
S= .
∵ ，∴S= .
说明：要注意整体代入.
对于教材中的例2，可以采用典型例题中第4题，充分让学生探究.
课堂练习：教材P181练习中2、4题.
（五）总结
知识：扇形及扇形面积公式S扇形= ，S扇形= lR.
方法能力：迁移能力，对比方法；计算能力的培养.
（六）作业 教材P181练习1、3；P187中10.
(二)
教学目标 ：
1、在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上，会计算弓形面积；
2、培养学生观察、理解能力，综合运用知识分析问题和解决问题的能力；
3、通过面积问题实际应用题的解决，向学生渗透理论联系实际的观点.
教学重点：扇形面积公式的导出及应用.
教学难点 ：对图形的分解和组合、实际问题数学模型的建立.
教学活动设计：
（一）概念与认识
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
弦AB把圆分成两部分，这两部分都是弓形.弓形是一个最简单的组合图形之一.
（二）弓形的面积
提出问题：怎样求弓形的面积呢？
学生以小组的形式研究，交流归纳出结论：
（1）当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差；
（2）当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和；
（3）当弓形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半.
理解：如果组成弓形的弧是半圆，则此弓形面积是圆面积的一半；如果组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积；如果组成弓形的弧是优弧，则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积.也就是说：要计算弓形的面积，首先观察它的弧属于半圆？劣弧？优弧？只有对它分解正确才能保证计算结果的正确.
（三）应用与反思
练习：
(1)如果弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______；
(2)如果弓形的弧所对的圆心角为300°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______.
（学生独立完成，巩固新知识）
例3、水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m.求截面上有水的弓形的面积.(精确到0.01m2)
教师引导学生并渗透数学建模思想，分析：
（1）“水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你提供了什么数学信息？
（2）求截面上有水的弓形的面积为你提供什么信息？
（3）扇形、三角形、弓形是什么关系，选择什么公式计算？
学生完成解题过程，并归纳三角形OAB的面积的求解方法.
反思：①要注重题目的信息，处理信息；②归纳三角形OAB的面积的求解方法，根据条件特征，灵活应用公式；③弓形的面积可以选用图形分解法，将它转化为扇形与三角形的和或差来解决.
例4、已知：⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心，以BC为半径作 .求 与 围成的新月牙形ACED的面积S.
解：∵ ，
有∵，
， ，
∴ .
组织学生反思解题方法：图形的分解与组合；公式的灵活应用.
（四）总结
1、弓形面积的计算：首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧，从而选择分解方案；
2、应用弓形面积解决实际问题；
3、分解简单组合图形为规则圆形的和与差.
（五）作业 教材P183练习2；P188中12.
(三)
教学目标 ：
1、掌握简单组合图形分解和面积的求法；
2、进一步培养学生的观察能力、发散思维能力和综合运用知识分析问题、解决问题的能力；
3、渗透图形的外在美和内在关系.
教学重点：简单组合图形的分解.
教学难点 ：对图形的分解和组合.
教学活动设计：
（一）知识回顾
复习提问：1、圆面积公式是什么？2、扇形面积公式是什么？如何选择公式？3、当弓形的弧是半圆时，其面积等于什么？4、当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？5、当弓形的弧是优弧时，其面积怎样求？
（二）简单图形的分解和组合
1、图形的组合
让学生认识图形，并体验图形的外在美，激发学生的研究兴趣，促进学生的创造力.
2、提出问题：正方形的边长为a，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形(阴影部分)的面积.
以小组的形式协作研究，班内交流思想和方法，教师组织.给学生发展思维的空间，充分发挥学生的主体作用.
归纳交流结论：
方案1.S阴=S正方形-4S空白.
方案2、S阴=4S瓣=4 (S半圆-S△AOB)
=2S圆-4S△AOB=2S圆-S正方形ABCD
方案3、S阴=4S瓣=4 (S半圆-S正方形AEOF)
=2S圆-4S正方形AEOF =2S圆-S正方形ABCD
方案4、S阴=4 S半圆-S正方形ABCD
……………
反思：①对图形的分解不同，解题的难易程度不同，解题中要认真观察图形，追求最美的解法；②图形的美也存在着内在的规律.
练习1：如图，圆的半径为r，分别以圆周上三个等分点为圆心，以r为半径画圆弧，则阴影部分面积是多少?
分析：连结OA，阴影部分可以看成由六个相同的弓形AmO组成.
解：连结AO，设P为其中一个三等分点，
连结PA、PO，则△POA是等边三角形.
.
∴
说明：① 图形的分解与重新组合是重要方法；②本题还可以用下面方法求：若连结AB，用六个弓形APB的面积减去⊙O面积，也可得到阴影部分的面积.
练习2：教材P185练习第1题
例5、 已知⊙O的半径为R.
（1）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的周长与⊙O直径（2R）的比值；
（2）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的面积与圆面积的比值(保留两位小数).
例5的计算量较大，老师引导学生完成.并进一步巩固正多边形的计算知识，提高学生的计算能力.
说明：从例5(1)可以看出：正多边形的周长与它的外接圆直径的比值，与直径的大小无关.实际上，古代数学家就是用逐次倍增正多边形的边数，使正多边形的周长趋近于圆的周长，从而求得了π的各种近似值.从(2)可以看出，增加圆内接正多边形的边数，可使它的面积趋近于圆的面积
（三）总结
1、简单组合图形的分解；
2、进一步巩固了正多边形的计算以，巩固了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积的计算.
3、进一步理解了正多边形和圆的关系定理.
（四）作业 教材P185练习2、3；P187中8、11.
探究活动
四瓣花形
在边长为1的正方形中分别以四个顶点为圆心，以l为半径画弧所交成的“四瓣梅花”图形，如图 (1)所示.
再分别以四边中点为圆心，以相邻的两边中点连线为半径画弧而交成的“花形”，如图 (12)所示.
探讨：（1）两图中的圆弧均被互分为三等份.
（2）两朵“花”是相似图形.
（3）试求两“花”面积
提示：分析与解 (1)如图21所示，连结PD、PC，由PD=PC=DC知，∠PDC=60°.
从而，∠ADP=30°.
同理∠CDQ=30°.故∠ADP=∠CDQ=30°，即，P、Q是AC弧的三等分点.
由对称性知，四段弧均被三等分.
如果证明了结论(2)，则图 (12)也得相同结论.
(2)如图（22）所示，连结E、F、G、H所得的正方形EFGH内的花形恰为图 (1)的缩影.显然两“花”是相似图形；其相似比是AB ﹕EF = ﹕1.
(3)花形的面积为： ， .
圆、扇形、弓形的面积 篇5
教学目标：
1、使学生在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上，会计算弓形面积；
2、会计算一些简单的组合图形的面积.
3、通过弓形面积的计算培养学生观察、理解能力，综合运用知识分析问题和解决问题的能力；
4、通过运用弓形面积的计算解决实际问题，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力；
5、通过学生对弓形及简单组合图形面积的计算，培养学生正确迅速的运算能力.
教学重点：
弓形面积的计算.
教学难点：
(1)简单组合图形的分解.
(2)从实际问题中抽象出数学模型.
教学过程：
一、新课引入：
上一节我们复习了圆的面积，在它的基础上我们学习了扇形的面积，本节课就要在前一课的基础上学习弓形面积的计算.
弓形是一个最简单的组合图形之一，由于有圆的面积、扇形面积、三角形面积做基础，很容易计算弓形的面积.
由于计算弓形的面积不像圆面积和扇形面积那样有公式，当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差；当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和；当弓形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半.也就是说要计算弓形的面积首先要观察这个弓形是怎么组合而成的，从而得到启发；一些组合图形的面积总要分解为几个规则图形的和与差来解决的方法.所谓规则图形指的是有计算公式的图形.因此弓形面积的计算以及受它启发的分解组合图形求面积的方法就是本节课的重点.本节拟就三部分组成：1.师生共同观察分解弓形，然后作有关的练习.2.运用弓形面积的计算解决实际问题.3.受分解弓形的启发分解一些简单的图形.
二、新课讲解：
(复习提问)：1.请回答圆的面积公式.2.请回答扇形的面积公
(以上三问应安排中下生回答)4.请同学看图7-163，弦ab把圆分成两部分，这两部分都是弓形，哪位同学记得弓形的定义？(安排中下生回答：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.)
所组的弓形.它的面积能不能跟扇形面积联系上呢？(安排中上生回答：能，连结oa、ob).大家再观察图形，这个弓形的面积如何通过扇形
也就是说组成弓形的弧如果是劣弧，那么它的面积应该等于以此劣弧与半径组成的扇形面积减去这两半径与弦组成的三角形的面积.
和半径oa、ob组成的图形是扇形吗？为什么？(安排中上生回答：是，因为它符合扇形的定义.)
如果弦ab是⊙o的直径，那么以ab为弦，半圆为弧的弓形的面积又是多少？(安排中下生回答：圆面积的一半.)
于是我们得出结论：如果组成弓形的弧是半圆，则此弓形面积是圆面积的一半；如果组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积；如果组成弓形的弧是优弧，则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积.也就是说：要计算弓形的面积，首先观察它的弧属于半圆？劣弧？优弧？只有对它分解正确才能保证计算结果的正确.
哪位同学知道要对这种题进行计算，首先要作什么工作？(安排中下
三角形aob的面积怎么求？(安排中上生回答：过o作od⊥ab，垂
以只要解此△aod即可求出od、ad的长，则s△aob可求.)
请同学们把这题计算出来.(安排一学生上黑板做，其余在练习本上
请同学们讨论研究第2题，并计算出它的结果.(安排中上生上黑板
(幻灯提供例题：)水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m.求截面上有水的弓形的面积.(精确到0.01m2)
“水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你提供了什么数学信息？(安排中上生回答：⊙o的半径是0.6m.)“其中水面高是0.3m”.又为你提供了什么信息？(安排中上生回答：弓形高cd是0.3m.)“求截面上有水的弓形的面积为你提供什么信息？(安排中等生回答：
长，看看已知条件，你打算怎么办？(安排中上学生回答：因弓形高cd已知，半径已知，所以弦心距od可求，根据垂径定理，rt△aod可解，即∠aod的度数可求，所以∠aob的度数可求.n既然可求当然
请问△aob的面积又该如何求？(安排中等学生回答：通过解此△aod可求出ad的长，再据垂径定理可求ab的长，od已求，所以s△aob可求.)
请同学们完成这道应用题.(安排一位中上学生到黑板做，其余学生在练习本上完成).
弓形面积虽然没有计算公式，但可以选用图形分解法，将它转化为扇形与三角形的和或差来解决，那么其它一些组合图形，不也可以用图形分解法来求其面积吗？
幻灯示题：如图7-166，已知正△abc的边长为a，分别以a、b、
图形面积s.
显然图形中阴影部分的面积无计算公式，因此必须将它转化为有公式图形的和或差来解决.想想看，你打算如何求s阴？(安排中等生回答：s阴=s正△abc-3s扇)
正三角形的边长为a，显然s正△abc可求.由于正△abc，所以∠
请同学们完成此题.(安排一中上学生上黑板，其余在练习本上完成).
幻灯示题：已知：⊙o的半径为r，直径ab⊥cd，以b为圆心，
大家观察，图(7-167)中的阴影部分面积应当如何求？(安排中下生回
我的看法对还是不对？为什么？(安排举手的学生回答：图形bcad不是扇形，因为扇形的定义是在同一个圆中，一条弧和过弧端点的两条半径
的半径.因此将阴影面积看成两扇形的差是错误的.)
请同学们按照正确思路完成此题.(安排一中等学生上黑板，其余学生在练习本上做)
三、课堂小结：
哪位同学能为本节课作总结？(安排中上学生回答：1.弓形面积的计算：首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧，从而选择分解方案.2.应用弓形面积解决实际问题.3.分解简单组合图形为规则圆形的和与差.)
四、布置作业
教材p.183练习1、2；p.188中12.
圆、扇形、弓形的面积 篇6
教学目标：
1、复习圆面积公式，并在它的基础上推导扇形面积公式.
2、应用圆面积公式和扇形面积公式进行一些有关计算.
3、通过扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力；
4、通过一些有关圆面积和扇形面积的计算培养学生正确、迅速的运算能力.
5、通过扇形面积公式的灵活运用，培养学生发散思维能力.
教学重点：
扇形面积公式的导出及应用.
教学难点：
对有关练习题的分析.
教学过程：
一、新课引入：
前面我们在推导弧长公式时是将360°的圆心角分成360等份，这些角的边将圆周分成360等分，每一等份，我们称其为1°的弧.在此基础上，我们推导了弧长公式.大家想想看，将360°的圆心角分成360等份后，这些角的边不仅将周长分成360等份，面积不也同时分成360等份了吗？圆被这些角的边分割后所成的图形就是我们今天所要学习的扇形.
二、新课讲解：
由于在推导弧长公式中，若将360°的圆心角360等分，就得到了360等份的弧.在这个过程中不难发现圆周被分割成360等份的同时，面积也被分割成360等份，于是就要研究这每一份的面积，从而推导了扇
由于扇形应用很广泛，它同其它规则图形一样是一些不规则图形的组成部分，尤其是跟圆弧有关的不规则图形中，在分解这些图形过程中扇形起着举足轻重的作用，而且它还是后面要学习的圆锥的基础，所以扇形面积公式的推导与计算是我们这堂课的重点.
如图7-161，圆心角的两边将圆分割成两部份，分割后所成的图形，我们称之为扇形.
哪位同学能给扇形下一个定义？(安排上等生回答：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形.)
将360°的圆心角分成360等份，这360条半径将圆分割成360个
哪位同学记得圆的面积公式？(安排中下生回答：s=πr2)
哪位同学知道，圆心角1°的扇形其面积应等于什么？(安排中下
如果一个扇形的圆心角为n°，则它的面积又应该是多少？(安排
公式中的“n”与弧长公式中的“n”意义完全相同，它表示1°的倍数，n的值与n°的值相同.
幻灯提供练习题：
1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，则这个扇形的面积，s扇=____.
r=____.
=____.
s扇=____.
长=____.
幻灯显示练习题：已知扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm，则s扇=____.
幻灯显示练习题：已知一扇形的面积240πcm2，它的圆心角度数是150°，则这扇形的弧长是____；
哪位同学分析一下这题的解题思路？(安排中上生回答：通过公式
案：20πcm)
幻灯显示练习题：已知一扇形的面积240πcm2，它的弧长是20πcm，则这扇形的圆心角是____.
哪位同学分析一下这题的解题思路：(安排中下生回答：通过公式
幻灯显示练习题：一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且面积相等，求这个扇形的圆心角.
哪位同学分析一下这题的解题思路？(安排中上生回答：设扇形半
请同学们完成此题.(答案：n°=90°)
例1 如图7-162，已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积.
哪位同学知道圆环的面积怎么求？(安排中下生回答：外接圆的面积—内切圆的面积)，如果设外接圆的半径为r，内切圆的半径为r3，
哪位同学发现r、r3与已知边长a有什么联系？
幻灯显示练习题：
1.已知正方形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；
2.已知正五边形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积.
(安排学生在练习本上完成)
通过前面3题的练习，你有什么发现？(安排中上学生回答：如果正
三、课堂小结：
四、布置作业：教材p.181.练习1、2、3、4；p.187中10
圆、扇形、弓形的面积 篇7
(一)
教学目标 ：
1、掌握扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算；
2、通过扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力；
3、在扇形面积公式的推导和例题教学过程 中，渗透“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩证思想.
教学重点：扇形面积公式的导出及应用.
教学难点 ：对图形的分析.
教学活动设计：
（一）复习（圆面积）
已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少？
S=πR2
我们在求面积时往往只需要求出圆的一部分面积，如图中阴影图形的面积.为了更好研究这样的图形引出一个概念.
扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.
提出新问题：已知⊙O半径为R，求圆心角n°的扇形的面积.
（二）迁移方法、探究新问题、归纳结论
1、迁移方法
教师引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤：
（1）圆周长C=2πR；
（2）1°圆心角所对弧长= ；
（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；
（4）n°圆心角所对弧长= .
归纳结论：若设⊙O半径为R， n°圆心角所对弧长l，则 （弧长公式）
2、探究新问题
教师组织学生对比研究：
（1）圆面积S=πR2；
（2）圆心角为1°的扇形的面积= ；
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；
（4）圆心角为n°的扇形的面积= .
归纳结论：若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形，则
S扇形= （扇形面积公式）
（三）理解公式
教师引导学生理解：
（1）在应用扇形的面积公式S扇形= 进行计算时，要注意公式中n的意义.n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）；
提出问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？（教师组织学生探讨）
S扇形= lR
想一想：这个公式与什么公式类似？（教师引导学生进行，或小组协作研究）
与三角形的面积公式类似，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作底，R看作高就行了.这样对比，帮助学生记忆公式.实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连结各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限.要让学生在理解的基础上记住公式.
（四）应用
练习：1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S扇=____.
2、已知扇形面积为 ，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=____.
3、已知半径为2的扇形，面积为 ，则它的圆心角的度数=____.
4、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积，S扇=____.
5、已知半径为2的扇形，面积为 ，则这个扇形的弧长=____.
（ ，2，120°， ， ）
例1、已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积.
学生独立完成，对基础较差的学生教师指导
（1）怎样求圆环的面积？
（2）如果设外接圆的半径为R，内切圆的半径为r， R、r与已知边长a有什么联系？
解：设正三角形的外接圆、内切圆的半径分别为R，r，面积为S1、S2.
S= .
∵ ，∴S= .
说明：要注意整体代入.
对于教材中的例2，可以采用典型例题中第4题，充分让学生探究.
课堂练习：教材P181练习中2、4题.
（五）总结
知识：扇形及扇形面积公式S扇形= ，S扇形= lR.
方法能力：迁移能力，对比方法；计算能力的培养.
（六）作业 教材P181练习1、3；P187中10.
(二)
教学目标 ：
1、在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上，会计算弓形面积；
2、培养学生观察、理解能力，综合运用知识分析问题和解决问题的能力；
3、通过面积问题实际应用题的解决，向学生渗透理论联系实际的观点.
教学重点：扇形面积公式的导出及应用.
教学难点 ：对图形的分解和组合、实际问题数学模型的建立.
教学活动设计：
（一）概念与认识
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
弦AB把圆分成两部分，这两部分都是弓形.弓形是一个最简单的组合图形之一.
（二）弓形的面积
提出问题：怎样求弓形的面积呢？
学生以小组的形式研究，交流归纳出结论：
（1）当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差；
（2）当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和；
（3）当弓形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半.
理解：如果组成弓形的弧是半圆，则此弓形面积是圆面积的一半；如果组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积；如果组成弓形的弧是优弧，则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积.也就是说：要计算弓形的面积，首先观察它的弧属于半圆？劣弧？优弧？只有对它分解正确才能保证计算结果的正确.
（三）应用与反思
练习：
(1)如果弓形的弧所对的圆心角为60°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______；
(2)如果弓形的弧所对的圆心角为300°，弓形的弦长为a，那么这个弓形的面积等于_______.
（学生独立完成，巩固新知识）
例3、水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m.求截面上有水的弓形的面积.(精确到0.01m2)
教师引导学生并渗透数学建模思想，分析：
（1）“水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你提供了什么数学信息？
（2）求截面上有水的弓形的面积为你提供什么信息？
（3）扇形、三角形、弓形是什么关系，选择什么公式计算？
学生完成解题过程，并归纳三角形OAB的面积的求解方法.
反思：①要注重题目的信息，处理信息；②归纳三角形OAB的面积的求解方法，根据条件特征，灵活应用公式；③弓形的面积可以选用图形分解法，将它转化为扇形与三角形的和或差来解决.
例4、已知：⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心，以BC为半径作 .求 与 围成的新月牙形ACED的面积S.
解：∵ ，
有∵，
， ，
∴ .
组织学生反思解题方法：图形的分解与组合；公式的灵活应用.
（四）总结
1、弓形面积的计算：首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧，从而选择分解方案；
2、应用弓形面积解决实际问题；
3、分解简单组合图形为规则圆形的和与差.
（五）作业 教材P183练习2；P188中12.
(三)
教学目标 ：
1、掌握简单组合图形分解和面积的求法；
2、进一步培养学生的观察能力、发散思维能力和综合运用知识分析问题、解决问题的能力；
3、渗透图形的外在美和内在关系.
教学重点：简单组合图形的分解.
教学难点 ：对图形的分解和组合.
教学活动设计：
（一）知识回顾
复习提问：1、圆面积公式是什么？2、扇形面积公式是什么？如何选择公式？3、当弓形的弧是半圆时，其面积等于什么？4、当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？5、当弓形的弧是优弧时，其面积怎样求？
（二）简单图形的分解和组合
1、图形的组合
让学生认识图形，并体验图形的外在美，激发学生的研究兴趣，促进学生的创造力.
2、提出问题：正方形的边长为a，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形(阴影部分)的面积.
以小组的形式协作研究，班内交流思想和方法，教师组织.给学生发展思维的空间，充分发挥学生的主体作用.
归纳交流结论：
方案1.S阴=S正方形-4S空白.
方案2、S阴=4S瓣=4 (S半圆-S△AOB)
=2S圆-4S△AOB=2S圆-S正方形ABCD
方案3、S阴=4S瓣=4 (S半圆-S正方形AEOF)
=2S圆-4S正方形AEOF =2S圆-S正方形ABCD
方案4、S阴=4 S半圆-S正方形ABCD
……………
反思：①对图形的分解不同，解题的难易程度不同，解题中要认真观察图形，追求最美的解法；②图形的美也存在着内在的规律.
练习1：如图，圆的半径为r，分别以圆周上三个等分点为圆心，以r为半径画圆弧，则阴影部分面积是多少?
分析：连结OA，阴影部分可以看成由六个相同的弓形AmO组成.
解：连结AO，设P为其中一个三等分点，
连结PA、PO，则△POA是等边三角形.
.
∴
说明：① 图形的分解与重新组合是重要方法；②本题还可以用下面方法求：若连结AB，用六个弓形APB的面积减去⊙O面积，也可得到阴影部分的面积.
练习2：教材P185练习第1题
例5、 已知⊙O的半径为R.
（1）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的周长与⊙O直径（2R）的比值；
（2）求⊙O的内接正三角形、正六边形、正十二边形的面积与圆面积的比值(保留两位小数).
例5的计算量较大，老师引导学生完成.并进一步巩固正多边形的计算知识，提高学生的计算能力.
说明：从例5(1)可以看出：正多边形的周长与它的外接圆直径的比值，与直径的大小无关.实际上，古代数学家就是用逐次倍增正多边形的边数，使正多边形的周长趋近于圆的周长，从而求得了π的各种近似值.从(2)可以看出，增加圆内接正多边形的边数，可使它的面积趋近于圆的面积
（三）总结
1、简单组合图形的分解；
2、进一步巩固了正多边形的计算以，巩固了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积的计算.
3、进一步理解了正多边形和圆的关系定理.
（四）作业 教材P185练习2、3；P187中8、11.
探究活动
四瓣花形
在边长为1的正方形中分别以四个顶点为圆心，以l为半径画弧所交成的“四瓣梅花”图形，如图 (1)所示.
再分别以四边中点为圆心，以相邻的两边中点连线为半径画弧而交成的“花形”，如图 (12)所示.
探讨：（1）两图中的圆弧均被互分为三等份.
（2）两朵“花”是相似图形.
（3）试求两“花”面积
提示：分析与解 (1)如图21所示，连结PD、PC，由PD=PC=DC知，∠PDC=60°.
从而，∠ADP=30°.
同理∠CDQ=30°.故∠ADP=∠CDQ=30°，即，P、Q是AC弧的三等分点.
由对称性知，四段弧均被三等分.
如果证明了结论(2)，则图 (12)也得相同结论.
(2)如图（22）所示，连结E、F、G、H所得的正方形EFGH内的花形恰为图 (1)的缩影.显然两“花”是相似图形；其相似比是AB ﹕EF = ﹕1.
(3)花形的面积为： ， .
圆、扇形、弓形的面积 篇8
(一)
教学目标：
1、掌握扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算；
2、通过扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力；
3、在扇形面积公式的推导和例题教学过程中，渗透“从特殊到一般，再由一般到特殊”的辩证思想.
教学重点：扇形面积公式的导出及应用.
教学难点：对图形的分析.
教学活动设计：
（一）复习（圆面积）
已知⊙O半径为R，⊙O的面积S是多少？
S=πR2
我们在求面积时往往只需要求出圆的一部分面积，如图中阴影图形的面积.为了更好研究这样的图形引出一个概念.
扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.
提出新问题：已知⊙O半径为R，求圆心角n°的扇形的面积.
（二）迁移方法、探究新问题、归纳结论
1、迁移方法
教师引导学生迁移推导弧长公式的方法步骤：
（1）圆周长C=2πR；
（2）1°圆心角所对弧长=；
（3）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍；
（4）n°圆心角所对弧长=.
归纳结论：若设⊙O半径为R， n°圆心角所对弧长l，则 （弧长公式）
2、探究新问题
教师组织学生对比研究：
（1）圆面积S=πR2；
（2）圆心角为1°的扇形的面积=；
（3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍；
（4）圆心角为n°的扇形的面积=.
归纳结论：若设⊙O半径为R，圆心角为n°的扇形的面积S扇形，则
S扇形= （扇形面积公式）
（三）理解公式
教师引导学生理解：
（1）在应用扇形的面积公式S扇形=进行计算时，要注意公式中n的意义.n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；
（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）；
提出问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？（教师组织学生探讨）
S扇形=lR
想一想：这个公式与什么公式类似？（教师引导学生进行，或小组协作研究）
与三角形的面积公式类似，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看作底，R看作高就行了.这样对比，帮助学生记忆公式.实际上，把扇形的弧分得越来越小，作经过各分点的半径，并顺次连结各分点，得到越来越多的小三角形，那么扇形的面积就是这些小三角形面积和的极限.要让学生在理解的基础上记住公式.
（四）应用
练习：1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S扇=____.
2、已知扇形面积为 ，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=____.
3、已知半径为2的扇形，面积为 ，则它的圆心角的度数=____.
4、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积，S扇=____.
5、已知半径为2的扇形，面积为 ，则这个扇形的弧长=____.
（ ，2，120°， ， ）
例1、已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积.
学生独立完成，对基础较差的学生教师指导
（1）怎样求圆环的面积？
（2）如果设外接圆的半径为R，内切圆的半径为r， R、r与已知边长a有什么联系？
解：设正三角形的外接圆、内切圆的半径分别为R，r，面积为S1、S2.
S=.
∵ ，∴S=.
说明：要注意整体代入.
对于教材中的例2，可以采用典型例题中第4题，充分让学生探究.
课堂练习：教材P181练习中2、4题.
（五）总结
知识：扇形及扇形面积公式S扇形= ，S扇形=lR.
方法能力：迁移能力，对比方法；计算能力的培养.
（六）作业 教材P181练习1、3；P187中10.
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