正弦和余弦
教学建议1.知识结构:本小节主要学习正弦、余弦的概念,30°、45°、60°角的正弦、余弦值,一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系,以及应用上述知识解决一些简单问题(包括引言中的问题)等.
2.重点、难点分析
(1) 正弦、余弦函数的定义是本节的重点,因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义,再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.
(2) 正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想,并且用含有几个字母的符号组sina,cosa来表示,学生过去未接触过,所以正弦、余弦的概念是难点.
3.理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性,是理解三角函数的核心.
锐角的正弦、余弦值是这样规定的:当一个锐角确定了,那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个,但它们都是彼此相似的.如上图,当 确定时,包含 的直角三角形有无穷多个,但它们彼此相似:
∽ ∽ ∽ ……因此,由于相似三角形的对应边成比例,所以这些三角形的对应边的比都是相等的.
这就是说,每当一个锐角确定了,包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了,它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系,我们引入了正(余)弦的说法,创造了sin 和cos这样的符号.
应当注重:单独写出三角函数的符号 或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义;另一方面,这些符号和角写在一起时(如 ),它表示的就不再是角,而是一个特定的三角形的两条边的比值了(如 ).真正理解并把握这些,才真正把握了这些符号的含义,才能正确地运用它们.
4. 我们应当学会熟悉任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.
我们不仅应当熟练把握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式,而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如, 如图所示,若 ,则有
有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中,我们也应能正确地写出所需要的三角函数表达式,如图中,abcd是梯形, ,作 , 我们应正确地写出如下的三角函数关系式:
很显然,这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.
5.非凡角的正弦、余弦值既轻易导出,也便于记忆,应当熟悉把握它们.
利用勾股定理,很轻易求出含有 或 角的直角三角形三边的比;如图(1)和图(2)所示.
根据定义,有
另一方面,可以想像,当 时,边 与ac重合(即 ),所以
当 时,边ab与cb重合(即ab=cb),ac的长缩小为0,于是,有
把以上结果可以集中列出下面的表:
0
1
1
0
6.教法建议:
(1)联系实际,提出问题
通过修建扬水站时,要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题,第一步把这问题归结于直角三角形中,第二步,再把这个问题归于直角三角形中,已知一个锐角和斜边的长,求这个锐角所对直角边的一个几何问题.同时指出在这种情况下,用已学过的勾股定理是解决不了的.激发学生的学习爱好,调动学生探索新途径,迫切需要学习新知识的积极性.在这章的第一节课,应抓住这个具有教育性,富于启发性的有利开端,为引进本章的重要内容:锐角三角函数作了十分必要的预备.共5页，当前第1页12345
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