22.2.2 配方法(精选4篇)
22.2.2 配方法 篇1
教学内容
间接即通过变形运用开平方法降次解方程.
教学目标
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题.
通过复习可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法,引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤.
重难点关键
1.重点:讲清“直接降次有困难,如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.
2.难点与关键:不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.
教学过程
一、复习引入
(学生活动)请同学们解下列方程
(1)3x2-1=5 (2)4(x-1)2-9=0 (3)4x2+16x+16=9
老师点评:上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=± 或mx+n=± (p≥0).
如:4x2+16x+16=(2x+4)2
二、探索新知
列出下面二个问题的方程并回答:
(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢?
(2)能否直接用上面三个方程的解法呢?
问题1:印度古算中有这样一资骸耙蝗汉镒臃至蕉樱吒咝诵嗽谟蜗罚?八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮,告我总数共多少,两队猴子在一起”.
大意是说:一群猴子分成两队,一队猴子数是猴子总数的 的平方,另一队猴子数是12,那么猴子总数是多少?你能解决这个问题吗?
问题2:如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路,余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为5000m2,道路的宽为多少?
老师点评:问题1:设总共有x只猴子,根据题意,得:x=( x)2+12
整理得:x2-64x+768=0
问题2:设道路的宽为x,则可列方程:(20-x)(32-2x)=500
整理,得:x2-36x+70=0
(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是:前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有.
(2)不能.
既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程,下面,我们就来讲如何转化:
x2-64x+768=0 移项→ x=2-64x=-768
两边加( )2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+1024
左边写成平方形式 → (x-32)2=256 降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16
解一次方程→x1=48,x2=16
可以验证:x1=48,x2=16都是方程的根,所以共有16只或48只猴子.
学生活动:
例1.按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题.
老师点评:x2-36x=-70,x2-36x+182=-70+324,(x-18)2=254,x-18=± ,x-18= 或x-18=- ,x1≈34,x2≈2.
可以验证x1≈34,x2≈2都是原方程的根,但x≈34不合题意,所以道路的宽应为2.
例2.解下列关于x的方程
(1)x2+2x-35=0 (2)2x2-4x-1=0
分析:(1)显然方程的左边不是一个完全平方式,因此,要按前面的方法化为完全平方式;(2)同上.
解:(1)x2-2x=35 x2-2x+12=35+1 (x-1)2=36 x-1=±6
x-1=6,x-1=-6
x1=7,x2=-5
可以,验证x1=7,x2=-5都是x2+2x-35=0的两根.
(2)x2-2x- =0 x2-2x=
x2-2x+12= +1 (x-1)2=
x-1=± 即x-1= ,x-1=-
x1=1+ ,x2=1-
可以验证:x1=1+ ,x2=1- 都是方程的根.
三、应用拓展
例3.如图,在rt△acb中,∠c=90°,ac=8m,cb=6m,点p、q同时由a,b两点出发分别沿ac、bc方向向点c匀速移动,它们的速度都是1m/s,几秒后△pcq的面积为rt△acb面积的一半.
分析:设x秒后△pcq的面积为rt△abc面积的一半,△pcq也是直角三角形.根据已知列出等式.
解:设x秒后△pcq的面积为rt△acb面积的一半.
根据题意,得: (8-x)(6-x)= × ×8×6
整理,得:x2-14x+24=0
(x-7)2=25即x1=12,x2=2
x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合题意,舍去.
所以2秒后△pcq的面积为rt△acb面积的一半.
四、归纳小结
本节课应掌握:
左边不含有x的完全平方形式,左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程的方程.
五、作业设计
一、选择题
1.将二次三项式x2-4x+1配方后得( ).
a.(x-2)2+3 b.(x-2)2-3 c.(x+2)2+3 d.(x+2)2-3
2.已知x2-8x+15=0,左边化成含有x的完全平方形式,其中正确的是( ).
a.x2-8x+(-4)2=31 b.x2-8x+(-4)2=1
c.x2+8x+42=1 d.x2-4x+4=-11
3.如果mx2+2(3-2m)x+3m-2=0(m≠0)的左边是一个关于x的完全平方式,则m等于( ).
a.1 b.-1 c.1或9 d.-1或9
二、填空题
1.方程x2+4x-5=0的解是________.
2.代数式 的值为0,则x的值为________.
3.已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值,若设x+y=z,则原方程可变为_______,所以求出z的值即为x+y的值,所以x+y的值为______.
三、综合提高题
1.已知三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x2-4x+3=0的解,求这个三角形的周长.
2.如果x2-4x+y2+6y+ +13=0,求(xy)z的值.
3.新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元,市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降50元时,平均每天就能多售出4台,商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元,每台冰箱的定价应为多少元?
答案:
一、1.b 2.b 3.c
二、1.x1=1,x2=-5 2.2 3.z2+2z-8=0,2,-4
三、1.(x-3)(x-1)=0,x1=3,x2=1,∴三角形周长为9(∵x2=1,∴不能构成三角形)
2.(x-2)2+(y+3)2+ =0,∴x=2,y=-3,z=-2,(xy)z=(-6)-2=
3.设每台定价为x,则:(x-2500)(8+ ×4)=5000,x2-5500x+7506250=0,解得x=2750
22.2.2 配方法
教学内容
给出配方法的概念,然后运用配方法解一元二次方程.
教学目标
了解配方法的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.
通过复习上一节课的解题方法,给出配方法的概念,然后运用配方法解决一些具体题目.
重难点关键
1.重点:讲清配方法的解题步骤.
2.难点与关键:把常数项移到方程右边后,两边加上的常数是一次项系数一半的平方.
教学过程
一、复习引入
(学生活动)解下列方程:
(1)x2-8x+7=0 (2)x2+4x+1=0
老师点评:我们前一节课,已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式,右边是非负数,不可以直接开方降次解方程的转化问题,那么这两道题也可以用上面的方法进行解题.
解:
(1)x2-8x+(-4)2+7-(-4)2=0 (x-4)2=9 x-4=±3即x1=7,x2=1
(2)x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22 (x+2)2=3即x+2=± x1= -2,x2=- -2
二、探索新知
像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法.
可以看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
例1.解下列方程
(1)x2+6x+5=0 (2)2x2+6x-2=0 (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0
分析:我们已经介绍了配方法,因此,我们解这些方程就可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方.
解:(1)移项,得:x2+6x=-5
配方:x2+6x+32=-5+32(x+3)2=4
由此可得:x+3=±2,即x1=-1,x2=-5
(2)移项,得:2x2+6x=-2
二次项系数化为1,得:x2+3x=-1
配方x2+3x+( )2=-1+( )2(x+ )2=
由此可得x+ =± ,即x1= - ,x2=- -
(3)去括号,整理得:x2+4x-1=0
移项,得x2+4x=1
配方,得(x+2)2=5
x+2=± ,即x1= -2,x2=- -2
三、应用拓展
例2.用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6
分析:因为如果展开(6x+7)2,那么方程就变得很复杂,如果把(6x+7)看为一个数y,那么(6x+7)2=y2,其它的3x+4= (6x+7)+ ,x+1= (6x+7)- ,因此,方程就转化为y的方程,像这样的转化,我们把它称为换元法.
解:设6x+7=y
则3x+4= y+ ,x+1= y-
依题意,得:y2( y+ )( y- )=6
去分母,得:y2(y+1)(y-1)=72
y2(y2-1)=72, y4-y2=72
(y2- )2=
y2- =±
y2=9或y2=-8(舍)
∴y=±3
当y=3时,6x+7=3 6x=-4 x=-
当y=-3时,6x+7=-3 6x=-10 x=-
所以,原方程的根为x1=- ,x2=-
四、归纳小结
本节课应掌握:
配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.
五、作业
一、选择题
1.配方法解方程2x2- x-2=0应把它先变形为( ).
a.(x- )2= b.(x- )2=0
c.(x- )2= d.(x- )2=
2.下列方程中,一定有实数解的是( ).
a.x2+1=0 b.(2x+1)2=0
c.(2x+1)2+3=0 d.( x-a)2=a
3.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z的值是( ).
a.1 b.2 c.-1 d.-2
二、填空题
1.如果x2+4x-5=0,则x=_______.
2.无论x、y取任何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数.
3.如果16(x-y)2+40(x-y)+25=0,那么x与y的关系是________.
三、综合提高题
1.用配方法解方程.
(1)9y2-18y-4=0 (2)x2+3=2 x
2.已知:x2+4x+y2-6y+13=0,求 的值.
3.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价一元,商场平均每天可多售出2件.
①若商场平均每天赢利1200元,每件衬衫应降价多少元?
②每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多?请你设计销售方案.
答案:
一、1.d 2.b 3.b
二、1.1,-5 2.正 3.x-y=
三、1.(1)y2-2y- =0,y2-2y= ,(y-1)2= ,y-1=± ,y1= +1,y2=1-
(2)x2-2 x=-3 (x- )2=0,x1=x2=
2.(x+2)2+(y-3)2=0,x1=-2,y2=3,∴原式=
3.(1)设每件衬衫应降价x元,则(40-x)(20+2x)=1200,x2-30x+200=0,x1=10,x2=20
(2)设每件衬衫降价x元时,商场平均每天赢利最多为y,则y=-2x2+60x+800=-2(x2-30x)+800=-2[(x-15)2-225]+800=-2(x-15)2+1250 ∵-2(x-15)2≤0,∴x=15时,赢利最多,y=1250元.答:略
22.2.2 配方法 篇2
配方法的基本形式
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题.
通过复习可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法,引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤.
重点
讲清直接降次有困难,如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤.
难点
将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.
一、复习引入
(学生活动)请同学们解下列方程:
(1)3x2-1=5 (2)4(x-1)2-9=0 (3)4x2+16x+16=9 (4)4x2+16x=-7
老师点评:上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得
x=±p或mx+n=±p(p≥0).
如:4x2+16x+16=(2x+4)2,你能把4x2+16x=-7化成(2x+4)2=9吗?
二、探索新知
列出下面问题的方程并回答:
(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢?
(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢?
问题:要使一块矩形场地的长比宽多6 m,并且面积为16 m2,求场地的长和宽各是多少?
(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是:前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征.
(2)不能.
既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程,下面,我们就来讲如何转化:
x2+6x-16=0移项→x2+6x=16
两边加(6/2)2使左边配成x2+2bx+b2的形式→x2+6x+32=16+9
左边写成平方形式→(x+3)2=25降次→x+3=±5即x+3=5或x+3=-5
解一次方程→x1=2,x2=-8
可以验证:x1=2,x2=-8都是方程的根,但场地的宽不能是负值,所以场地的宽为2 m,长为8 m.
像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法.
可以看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
例1 用配方法解下列关于x的方程:
(1)x2-8x+1=0 (2)x2-2x-12=0
分析:(1)显然方程的左边不是一个完全平方式,因此,要按前面的方法化为完全平方式;(2)同上.
解:略.
三、巩固练习
教材第9页 练习1,2.(1)(2).
四、课堂小结
本节课应掌握:
左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程的方程.
五、作业布置
22.2.2 配方法 篇3
[课 题] §12.2 一元二次方程的解法(2)——配方法[教学目的] 使学生掌握配方法的推导过程,能够熟练地进行配方;使学生会用配方法解数字系数的一元二次方程。[教学重点] 掌握配方法的推导过程,能够熟练地进行配方。[教学难点 ] 掌握配方法的推导过程,能够熟练地进行一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的配方。[教学关键] 会用配方法解数字系数的一元二次方程。[教学用具] [教学形式] 讲练结合法。[教学用时] 45′×1 [教学过程 ][复习提问] 1、在(x+3)2=2中,x+3与2的关系是什么?(x+3是2的平方根。)2、试将方程的左边展开、移项、合并同类项。(x2+6 x+9=2,x2+6 x+7=0。)[讲解新课]现在,我们来研究方程:x2+6 x+7=0的解法。我们知道,方程:x2+6 x+7=0是由方程:(x+3)2=2变形得到的,因此,要解方程:x2+6 x+7=0应当如何变形?这里要求学生做尝试回答:要解方程:x2+6x+7=0,最好将其变形为:(x+3)2=2。这是因为,我们会用直接开平方法解方程:(x+3)2=2了。下面重点研究如何将方程:x2+6 x+7=0,变形为:(x+3)2=2。这里,不是只研究这一道题解法的问题,而是注意启发学生找出一般性规律。将方程:x2+6 x+7=0的常数项移到右边,并将一次项6x改写成2·x·3,得:x2+2·x·3=-7。由此可以看出,为使左边成为完全平方式,只需在方程两边都加上32,即:x2+2·x·3+32=-7+32,(x+3)2=2。解这个方程,得:x1=-3+ ,x2=-3- 。随后提出:这种解一元二次方程的方法叫做配方法。很明显,掌握这种方法的关键是“配方”。上述引例以及列3,二次项系数都是1,而例4,二次项的系数不是1,这时,要将方程的两边都除以二次项的系数,就把该方程的二次项系数变成1了。这样,“配方”就容易了。让学生做练习:1、x2+6x+ =(x+ )2;(9,3)2、x2-5x+ =(x- )2;( , )3、x2+ x+ =(x+ )2;( , )例3 解方程:x2-4 x-3=0。解:略。例4 解方程:2x2+3=7 x。解:略。说明:在讲解完这两个例题之后,一方面是利用“配方法”求出一元二次方程的解,另一方面是通过求解过程使学生掌握“配方”的方法。讲解应突出重点,对容易出错的地主应给予较多的讲解。如例4的解方程:2x2+3=7 x,在“分析”中指出,应先把这个方程化成一般形式:2x2-7 x +3=0。其次,这个方程的二次项系数是2,为了便于配方,可把二次项系数化为1,为此,把方程的各项都除以2,并移项,得:x2- x=- ;下一步应是配方。这里,一次项的系数是(- ),它的一半的平方是(- )2。学生在这里容易出错。讲解时,应提醒学生注意。我们知道,配方法解一元二次方程是比较麻烦的,在实际解一元二次方程时,一般不用配方法,而用公式法。但是,配方法是导出公式法——求根公式的关键,在以后的学习中,会常常用到配方法,所以掌握这个数学方法是重要的。[课堂练习]教科书第10页练习第1,2题。[课堂小结]这堂课我们主要学习了用配方法解数字系数的一元二次方程,配方的关键是:在方程的两边都加上一次项系数一半的平方。请同学们回去后,用配方法解一下关于x的方程:ax2+bx+c=0(a≠0)。(此题为下一课讲解作准备,可指定一些同学做,从中了解在公式推导过程中存在的问题。)[课外作业 ]教科书第15页习题12.1A组第3,4题。[板书设计 ]
课题: 例题:辅助板书:[课后记]通过本节课的学习,多数学生对配方法解一元二次方程基本掌握,但有一部分学生对一元二次方程一般式的配方法掌握的不好,希望课后多加练习。
22.2.2 配方法 篇4
公开课教案
授课人:henao6202 授课时间:-3-27
授课地点:xx中学八(1)班 公开范围:数学组
授课内容:20.2一元二次方程解法(3)---配方法
教学目标:理解配方法的意义,会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
教学重点:配方法解一元二次方程
教学过程:
一、复习旧知 导入新课
1、因式分解的完全平方公式内容。[a2±2ab+b2=(a±b)2]
2、填空:
(1)x2-8x+( )2=(x- )2 (2)y2+5y+( )2=(y+ )2
(3) x2- x+( )2=(x- )2 (4)x2+px+( )2=(x+ )2
说明:配方的关键是两边同加上一次项系数一半的平方,前提是二次项系数是1。
二、讲解新课
1、解方程(1)(x+3)2=2
解: x+3=±
x=-3±
即:x1=-3+ x2=-3-
(2)x2+6x+7=0
这个方程显然不能用直接开平方法解,能否把这个方程化成可用开平方法来解的形式?即(x+m)2=n的形式。
我们可以这样变形:
把常数项移到右边,得
x2+6x=-7
对等号左边进行配方,得
x2+6x+32=-7+32
(x+3)2=2
这样,就把原方程化为与上面方程一样的形式了。像这种先对原一元二次方程配方,使它出现完全平方式后(即化为(x+m)2=n形式),再用开平方来解的方法叫配方法。
(板书)(一)、一元二次方程解法二:配方法
2、例1 用配方法解下列方程:
(1)x2-4x-1=0 (2)2x2-3x-1=0
说明:第(1)小题引导学生自己完成,第二小题引导学生将二次项系数化为1,再让学生自己完成。
解:(1)移项,得
x2-4x=1
配方,得
x2-4x+22=1+22
(x-2)2=5
开方,得
x-2=±
∴x1=2+ x2=2-
(2)化二次项系数为1,得
x2- x- =0
移项,得
x2- x=
下面的过程由学生补充完整:
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三、归纳小结
配方法的一般步骤(让学生总结,在黑板上板书)
1、 化二次项系数为1
2、 移项
3、 配方(两边同加上一次项系数一半平方)
4、 开方
其中“化、移、配、开”及“一半平方”用彩色粉笔标出。
四、练习
p40 练习1、2
五、课外作业
p45 1、2
六、板书设计
20.2 一元二次方程解法
(一)一元二次方程解法二--配方法 例1 解方程
(二)配方法的一般步骤 (1)x2-4x-1=0
1、化二次项系数为1 (2) 2x2-3x-1=0
2、移项 解:------------------------
3、配方(两边同加一次项系数一半平方) ------------------------
4、开方 ------------------------
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