第一章集合与简易逻辑章末总结
一、本章数学思想方法1、分类讨论思想（1）分类讨论问题已成为高考考查学生的知识与能力的热点问题，这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖知识点较多，有利于知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类思想与分类技巧，有利于对学生能力的考查；其三，分类思想与生产实践和高等数学都紧密相关。（2）解分类讨论问题的实质：整体问题化为若干个部分来解决，化成部分后从而增加了题设的条件，从而将问题解答进行到底，这正是我们要分类讨论的根本原因。（3）分类讨论要注意的几点：(1)根据问题实际，做到分类不重不漏；(2)熟练地掌握基础知识，做到融汇贯通，是解好分类讨论问题的前提条件；(3)不断地的总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性；(4)要注意简化或避免分类讨论，优化解题过程。【例1】 已知三元素集 ， 且a=b，求x与y的值。【解】∵0∈b，a=b，∴0∈a。又集合为3元素集，∴x≠xy,∴x≠0.又0∈b，y∈b,∴y≠0，从而x－y=0，即x=y这时 ， ，∴|x|=x2.则x=0(舍去)x=±1当x=1时，a={1，1，0}舍去；当x=－1时，a={－1，1，0}，b={0，1，－1}满足a=b，∴x=y=－1.【点评】 此题若开始就讨论x=0，xy=0，x－y=0则较繁琐，故先分析，后讨论.【例2】 解不等式 分析 将定义区域，划分为三段，x<－9，－9≤x≤ ，x> 分别讨论.解 (1)当x<－9时，－(x＋9)＋(3x－4)＋2＞0，2x－11＞0.x＞ ，与x＜－9矛盾，原不等式无解；(2)当－9≤x≤ 时，(x＋9)＋(3x－4)＋2＞0，得x＞ ，∴ ＜x≤ (3)当x＞ 时，(x＋9)－(3x－4)＋2＞0得x＜ ，∴ ＜x＜ 综上可得原不等式解集为{x│ ＜x＜ }【点评】 例2中绝对值的存在是解题的一大障碍，因此必须去掉绝对值；如何去掉绝对值呢?须对问题的定义域划分区间，分类讨论，才能去掉绝对值符号，这正是解这个问题分类讨论的原因.分点的确定、划分区间至关重要，它是分类讨论解题关键一环.2、数形结合思想数形结合既是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法.纵观历年高考试题。以数形结合的思想方法巧妙运用解决的问题比比皆是.认清集合的特征，准确地转化为图形关系，借助图形使问题直观、具体、准确地得到解决，因此处理集合问题要重视数形结合思想方法的运用(如数轴、几何图形、文氏图等).【例3】 设全集为u，在下列条件中，是b a的充要条件的有( )a.1个 b.2个 c.3个 d.4个（1） （2） （3） （4） 解析 本题可以利用文氏图，化抽象为直观，从而化难为易，选d.uab【例4】 已知 ，，且 ，求实数a的取值范围.解： 方程组 有解圆 与直线 有公共点≤ ≤ ≤ 故 的取值范围是 【点评】 将集合之间的运算转化为图形之间的运算，将集合语言转化为图形语言，然后用代数的方法解决.共2页，当前第1页12
