3.1 等差数列(精选15篇)
3.1 等差数列 篇1
教学目的:1.明确等差数列的定义,掌握等差数列的通项公式; 2.会解决知道 中的三个,求另外一个的问题 教学重点:等差数列的概念,等差数列的通项公式 教学难点:等差数列的性质 教学过程: 一、复习引入:(课件第一页) 二、讲解新课: 1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的 差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示)。(课件第二页) ⑴.公差d一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求; ⑵.对于数列{ },若 - =d (与n无关的数或字母),n≥2,n∈n ,则此数列是等差数列,d 为公差。 2.等差数列的通项公式: 【或 】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列 的首项是 ,公差是d,则据其定义可得: 即: 即: 即: …… 由此归纳等差数列的通项公式可得: (课件第二页) 第二通项公式 (课件第二页) 三、例题讲解 例1 ⑴求等差数列8,5,2…的第20项(课本p111) ⑵ -401是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果是,是第几项? 例2 在等差数列 中,已知 , ,求 , , 例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列 中,设数列的第s项和第t项分别为 和 ,计算 的值,你能发现什么结论?并证明你的结论。 小结:①这就是第二通项公式的变形,②几何特征,直线的斜率 例4 梯子最高一级宽33cm,最低一级宽为110cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数列,计算中间各级的宽度。(课本p112例3) 例5 已知数列{ }的通项公式 ,其中 、 是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是什么?(课本p113例4) 分析:由等差数列的定义,要判定 是不是等差数列,只要看 (n≥2)是不是一个与n无关的常数。 注:①若p=0,则{ }是公差为0的等差数列,即为常数列q,q,q,… ②若p≠0, 则{ }是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q. ③数列{ }为等差数列的充要条件是其通项 =pn+q (p、q是常数)。称其为第3通项公式④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。 例6.成等差数列的四个数的和为26,第二项与第三项之积为40,求这四个数.四、练习: 1.(1)求等差数列3,7,11,……的第4项与第10项. (2)求等差数列10,8,6,……的第20项. (3)100是不是等差数列2,9,16,……的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由. (4)-20是不是等差数列0,-3 ,-7,……的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由. 2.在等差数列{ }中,(1)已知 =10, =19,求 与d; 五、课后作业:习题3.2 1(2),(4) 2.(2), 3, 4, 5, 6 . 8. 9.
3.1 等差数列 篇2
教材:(二)目的:通过例题的讲解,要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义,并且能够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。过程:一、复习:等差数列的定义,通项公式 二、例一 在等差数列 中, 为公差,若 且 求证:1° 2° 证明:1° 设首项为 ,则∵ ∴ 2∵ ∴ 注意:由此可以证明一个定理:设成等差数列,则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和 ,即: 同样:若 则 例二 在等差数列 中, 1° 若 求 解: 即 ∴ 2° 若 求 解: = 3° 若 求 解: 即 ∴ 从而 4° 若 求 解:∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 …… ∴ …… 从而 + 2 ∴ =2 - =2×80-30=130 三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法 1.定义法:即证明 已知数列 的前 项和 ,求证数列 成等差数列,并求其首项、公差、通项公式。 解: 当 时 时 亦满足 ∴ 首项 ∴ 成等差数列且公差为6 2.中项法: 即利用中项公式,若 则 成等差数列。 已知 , , 成等差数列,求证 , , 也成ap。 证明: ∵ , , 成ap ∴ 化简得: = ∴ , , 也成等差数列。 3.通项公式法:利用等差数列得通项公式是关于 的一次函数这一性质。 例五 设数列 其前 项和 ,问这个数列成ap吗?解: 时 时 ∵ ∴ ∴ 数列 不成ap 但从第2项起成等差数列。 四、小结: 略 五、作业:
3.1 等差数列 篇3
教学目标
1.理解的概念,掌握的通项公式,并能运用通项公式解决简单的问题.
(1)了解公差的概念,明确一个数列是的限定条件,能根据定义判断一个数列是,了解等差中项的概念;
(2)正确认识使用的各种表示法,能灵活运用通项公式求的首项、公差、项数、指定的项;
(3)能通过通项公式与图像认识的性质,能用图像与通项公式的关系解决某些问题.
2.通过的图像的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过通项公式的运用,渗透方程思想.
3.通过概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新知的创新意识;通过对的研究,使学生明确与一般数列的内在联系,从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.
关于的教学建议
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
①教学重点是的定义和对通项公式的认识与应用,是特殊的数列,定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括,准确把握定义是正确认识,解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系,是研究一个数列的重要工具,的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关,通过函数图象研究数列性质成为可能.
②通过不完全归纳法得出的通项公式,所以是教学中的一个难点;另外, 出现在一个等式中,运用方程的思想,已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多,学生应用时会有一定的困难,通项公式的灵活运用是教学的有一难点.
(3)教法建议
①本节内容分为两课时,一节为的定义与表示法,一节为通项公式的应用.
②定义的引出可先给出几组,让学生观察、比较,概括共同规律,再由学生尝试说出的定义,对程度差的学生可以提示定义的结构:“……的数列叫做”,由学生把限定条件一一列举出来,为等比数列的定义作准备.如果学生给出的定义不准确,可让学生研究讨论,用符合学生的定义但不是的数列作为反例,再由学生修改其定义,逐步完善定义.
③的定义归纳出来后,由学生举一些的例子,以此让学生思考确定一个的条件.
④由学生根据一般数列的表示法尝试表示,前提条件是已知数列的首项与公差.明确指出其图像是一条直线上的一些点,根据图像观察项随项数的变化规律;再看通项公式,项 可看作项数 的一次型( )函数,这与其图像的形状相对应.
⑤有穷的末项与通项是有区别的,数列的通项公式 是数列第 项 与项数 之间的函数关系式,有穷的项数未必是 ,即其末项未必是该数列的第 项,在教学中一定要强调这一点.
⑥前 项和的公式推导离不开的性质,所以在本节课应补充一些重要的性质;另外可让学生研究的子数列,有规律的子数列会引起学生的兴趣.
⑦是现实生活中广泛存在的数列的数学模型,如教材中的例题、习题等,还可让学生去搜集,然后彼此交流,提出相关问题,自己尝试解决,为学生提供相互学习的机会,创设相互研讨的课堂环境.
通项公式的教学设计示例
教学目标
1.通过教与学的互动,使学生加深对通项公式的认识,能参与编拟一些简单的问题,并解决这些问题;
2.利用通项公式求的项、项数、公差、首项,使学生进一步体会方程思想;
3.通过参与编题解题,激发学生学习的兴趣.
教学重点,难点
教学重点是通项公式的认识;教学难点 是对公式的灵活运用.
教学用具
实物投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
研探式.
教学过程
一.复习提问
前一节课我们学习了的概念、表示法,请同学们回忆的定义,其表示法都有哪些?
的概念是从相邻两项的关系加以定义的,这个关系用递推公式来表示比较简单,但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.
二.主体设计
通项公式 反映了项 与项数 之间的函数关系,当的首项与公差确定后,数列的每一项便确定了,可以求指定的项(即已知 求 ).找学生试举一例如:“已知 中,首项 ,公差 ,求 .”这是通项公式的简单应用,由学生解答后,要求每个学生出一些运用通项公式的题目,包括正用、反用与变用,简单、复杂,定量、定性的均可,教师巡视将好题搜集起来,分类投影在屏幕上.
1.方程思想的运用
(1)已知 中,首项 ,公差 ,则-397是该数列的第______项.
(2)已知 中,首项 , 则公差
(3)已知 中,公差 , 则首项
这一类问题先由学生解决,之后教师点评,四个量 , 在一个等式中,运用方程的思想方法,已知其中三个量的值,可以求得第四个量.
2.基本量方法的使用
(1)已知 中, ,求 的值.
(2)已知 中, , 求 .
若学生的题目只有这两种类型,教师可以小结(最好请出题者、解题者概括):因为已知条件可以化为关于 和 的二元方程组,所以这些是确定的,由 和 写出通项公式,便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件(等式)化为关于 和 的二元方程组,以求得 和 , 和 称作基本量.
教师提出新的问题,已知的一个条件(等式),能否确定一个?学生回答后,教师再启发,由这一个条件可得到关于 和 的二元方程,这是一个 和 的制约关系,从这个关系可以得到什么结论?举例说明(例题可由学生或教师给出,视具体情况而定).
如:已知 中, …
由条件可得 即 ,可知 ,这是比较显然的,与之相关的还能有什么结论?若学生答不出可提示,一定得某一项的值么?能否与两项有关?多项有关?由学生发现规律,完善问题
(3)已知 中, 求 ; ; ; ;….
类似的还有
(4)已知 中, 求 的值.
以上属于对数列的项进行定量的研究,有无定性的判断?引出
3.研究的单调性
,考察 随项数 的变化规律.着重考虑 的情况. 此时 是 的一次函数,其单调性取决于 的符号,由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.
4.研究项的符号
这是为研究前 项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如
(1)已知数列 的通项公式为 ,问数列从第几项开始小于0?
(2) 从第________项起以后每项均为负数.
三.小结
1. 用方程思想认识通项公式;
2. 用函数思想解决问题.
四.板书设计
通项公式 1. 方程思想的运用
2. 基本量方法的使用
3. 研究的单调性
4. 研究项的符号
3.1 等差数列 篇4
教材:(一)目的:要求学生掌握等差数列的意义,通项公式及等差中项的有关概念、计算公式,并能用来解决有关问题。过程:
一、引导观察数列:4,5,6,7,8,9,10,…… 3,0,-3,-6,…… , , , ,…… 12,9,6,3,…… 特点:从第二项起,每一项与它的前一项的差是常数 — “等差”
二、得出等差数列的定义: 注意:从第二项起,后一项减去前一项的差等于同一个常数。1.名称: 首项 公差 2.若 则该数列为常数列3.寻求等差数列的通项公式: 由此归纳为 当 时 (成立) 注意: 1° 等差数列的通项公式是关于 的一次函数 2° 如果通项公式是关于 的一次函数,则该数列成ap 证明:若 它是以 为首项, 为公差的ap。 3° 公式中若 则数列递增, 则数列递减 4° 图象: 一条直线上的一群孤立点三、例题: 注意在 中 , , , 四数中已知三个可以求 出另一个。例一 (见教材)例二 (见教材)
四、关于等差中项: 如果 成等差数列则 证明:设公差为 ,则 ∴ 例四 《教学与测试》p77 例一:在-1与7之间顺次插入三个数 使这五个数成ap,求此数列。五、小结:等差数列的定义、通项公式、等差中项六、作业:
3.1 等差数列 篇5
教学目标
1.理解等差数列的概念,把握等差数列的通项公式,并能运用通项公式解决简单的问题.
(1)了解公差的概念,明确一个数列是等差数列的限定条件,能根据定义判定一个数列是等差数列,了解等差中项的概念;
(2)正确熟悉使用等差数列的各种表示法,能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项;
(3)能通过通项公式与图像熟悉等差数列的性质,能用图像与通项公式的关系解决某些问题.
2.通过等差数列的图像的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过等差数列通项公式的运用,渗透方程思想.
3.通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新知的创新意识;通过对等差数列的研究,使学生明确等差数列与一般数列的内在联系,从而渗透非凡与一般的辩证唯物主义观点.
关于等差数列的教学建议
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
①教学重点是等差数列的定义和对通项公式的熟悉与应用,等差数列是非凡的数列,定义恰恰是其非凡性、也是本质属性的准确反映和高度概括,准确把握定义是正确熟悉等差数列,解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系,是研究一个数列的重要工具,等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关,通过函数图象研究数列性质成为可能.
②通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式,所以是教学中的一个难点;另外, 出现在一个等式中,运用方程的思想,已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多,学生应用时会有一定的困难,通项公式的灵活运用是教学的有一难点.
(3)教法建议
①本节内容分为两课时,一节为等差数列的定义与表示法,一节为等差数列通项公式的应用.
②等差数列定义的引出可先给出几组等差数列,让学生观察、比较,概括共同规律,再由学生尝试说出等差数列的定义,对程度差的学生可以提示定义的结构:“……的数列叫做等差数列”,由学生把限定条件一一列举出来,为等比数列的定义作预备.假如学生给出的定义不准确,可让学生研究讨论,用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例,再由学生修改其定义,逐步完善定义.
③等差数列的定义归纳出来后,由学生举一些等差数列的例子,以此让学生思考确定一个等差数列的条件.
④由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列,前提条件是已知数列的首项与公差.明确指出其图像是一条直线上的一些点,根据图像观察项随项数的变化规律;再看通项公式,项 可看作项数 的一次型( )函数,这与其图像的外形相对应.
⑤有穷等差数列的末项与通项是有区别的,数列的通项公式 是数列第 项 与项数 之间的函数关系式,有穷等差数列的项数未必是 ,即其末项未必是该数列的第 项,在教学中一定要强调这一点.
⑥等差数列前 项和的公式推导离不开等差数列的性质,所以在本节课应补充一些重要的性质;另外可让学生研究等差数列的子数列,有规律的子数列会引起学生的爱好.
⑦等差数列是现实生活中广泛存在的数列的数学模型,如教材中的例题、习题等,还可让学生去搜集,然后彼此交流,提出相关问题,自己尝试解决,为学生提供相互学习的机会,创设相互研讨的课堂环境.
等差数列通项公式的教学设计示例
教学目标
1.通过教与学的互动,使学生加深对等差数列通项公式的熟悉,能参与编拟一些简单的问题,并解决这些问题;
2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项,使学生进一步体会方程思想;
3.通过参与编题解题,激发学生学习的爱好.
教学重点,难点
教学重点是通项公式的熟悉;教学难点是对公式的灵活运用.
教学用具
实物投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
研探式.
教学过程
一.复习提问
前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法,请同学们回忆等差数列的定义,其表示法都有哪些?
等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的,这个关系用递推公式来表示比较简单,但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.
二.主体设计
通项公式 反映了项 与项数 之间的函数关系,当等差数列的首项与公差确定后,数列的每一项便确定了,可以求指定的项(即已知 求 ).找学生试举一例如:“已知等差数列 中,首项 ,公差 ,求 .”这是通项公式的简单应用,由学生解答后,要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的题目,包括正用、反用与变用,简单、复杂,定量、定性的均可,教师巡视将好题搜集起来,分类投影在屏幕上.
1.方程思想的运用
(1)已知等差数列 中,首项 ,公差 ,则-397是该数列的第______项.
(2)已知等差数列 中,首项 , 则公差
(3)已知等差数列 中,公差 , 则首项
这一类问题先由学生解决,之后教师点评,四个量 , 在一个等式中,运用方程的思想方法,已知其中三个量的值,可以求得第四个量.
2.基本量方法的使用
(1)已知等差数列 中, ,求 的值.
(2)已知等差数列 中, , 求 .
若学生的题目只有这两种类型,教师可以小结(最好请出题者、解题者概括):因为已知条件可以化为关于 和 的二元方程组,所以这些等差数列是确定的,由 和 写出通项公式,便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件(等式)化为关于 和 的二元方程组,以求得 和 , 和 称作基本量.
教师提出新的问题,已知等差数列的一个条件(等式),能否确定一个等差数列?学生回答后,教师再启发,由这一个条件可得到关于 和 的二元方程,这是一个 和 的制约关系,从这个关系可以得到什么结论?举例说明(例题可由学生或教师给出,视具体情况而定).
如:已知等差数列 中, …
由条件可得 即 ,可知 ,这是比较显然的,与之相关的还能有什么结论?若学生答不出可提示,一定得某一项的值么?能否与两项有关?多项有关?由学生发现规律,完善问题
(3)已知等差数列 中, 求 ; ; ; ;….
类似的还有
(4)已知等差数列 中, 求 的值.
以上属于对数列的项进行定量的研究,有无定性的判定?引出
3.研究等差数列的单调性
,考察 随项数 的变化规律.着重考虑 的情况. 此时 是 的一次函数,其单调性取决于 的符号,由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.
4.研究项的符号
这是为研究等差数列前 项和的最值所做的预备工作.可配备的题目如
(1)已知数列 的通项公式为 ,问数列从第几项开始小于0?
(2)等差数列 从第________项起以后每项均为负数.
三.小结
1. 用方程思想熟悉等差数列通项公式;
2. 用函数思想解决等差数列问题.
四.板书设计
等差数列通项公式1. 方程思想的运用
2. 基本量方法的使用
3. 研究等差数列的单调性
4. 研究项的符号
3.1 等差数列 篇6
教学目标 1.明确等差中的概念. 2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式 3.培养学生的应用意识. 教学重点 等差数列的性质的理解及应用 教学难点 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 教学方法 讲练相结合 教具准备 投影片2张(内容见下面) 教学过程 (i)复习回顾 师:首先回忆一下上节课所学主要内容: 1. 等差数列定义: (n≥2) 2. 等差数列通项公式: (n≥2) 推导公式: (ⅱ)讲授新课 师:先来看这样两个例题(放投影片1) 例1:在等差数列 中,已知 , ,求首项 与公差 例2:梯子最高一级宽33cm,最低一级宽为110cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数列,计算中间各级的宽度。1. 解:由题意可知 解之得 即这个数列的首项是-2,公差是3。 或由题意可得: 即:31=10+7d 可求得d=3,再由 求得1=-2 2. 解设 表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列,由已知条件,可知: a1=33, a12=110,n=12 ∴ ,即时10=33+11 解之得: 因此, 答:梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm. 师:[提问]如果在 与 中间插入一个数a,使 ,a, 成等差数列数列,那么a应满足什么条件? 生:由定义得a- = -a 即: 反之,若 ,则a- = -a 师:由此可可得: 成等差数列,若 ,a, 成等差数列,那么a叫做 与 的等差中项。 不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。 如数列:1,3,5,7,9,11,13…中 5是否和风细雨的等差中项,1和9的等差中项。 9是7和11的等差中项,5和13的等差中项。 看来, 从而可得在一等差数列中,若m+n=p+q 则, 生:结合例子,熟练掌握此性质 师:再来看例3。(放投影片2) 生:思考例题 例3:已知数列的通项公式为: 分析:由等差数列的定义,要判定 是不是等差数列,只要看 (n≥2)是不是一个与n无关的常数。 解:取数列 中的任意相邻两项 与 (n≥2), 则: 它是一个与n无关的常数,所以 是等差数列。在 中令n=1,得: ,所以这个等差数列的首项是p=q,公差是p.看来,等差数列的通项公式可以表示为: ,其中 、 是常数。 (ⅲ)课堂练习 生:(口答) (书面练习) 师:给出答案 生:自评练习 (ⅳ)课时小结 师:本节主要概念:等差中项 另外,注意灵活应用等差数列定义及通项公式解决相关问题。 (ⅴ)课后作业 一、课本 二、1.预习内容 2.预习提纲:①等差数列的前n项和公式; ②等差数列前n项和的简单应用。 教学后记
3.1 等差数列 篇7
教学目标
1.理解的概念,掌握的通项公式,并能运用通项公式解决简单的问题.
(1)了解公差的概念,明确一个数列是的限定条件,能根据定义判断一个数列是,了解等差中项的概念;
(2)正确认识使用的各种表示法,能灵活运用通项公式求的首项、公差、项数、指定的项;
(3)能通过通项公式与图像认识的性质,能用图像与通项公式的关系解决某些问题.
2.通过的图像的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过通项公式的运用,渗透方程思想.
3.通过概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新知的创新意识;通过对的研究,使学生明确与一般数列的内在联系,从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.
关于的教学建议
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
①教学重点是的定义和对通项公式的认识与应用,是特殊的数列,定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括,准确把握定义是正确认识,解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系,是研究一个数列的重要工具,的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关,通过函数图象研究数列性质成为可能.
②通过不完全归纳法得出的通项公式,所以是教学中的一个难点;另外, 出现在一个等式中,运用方程的思想,已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多,学生应用时会有一定的困难,通项公式的灵活运用是教学的有一难点.
(3)教法建议
①本节内容分为两课时,一节为的定义与表示法,一节为通项公式的应用.
②定义的引出可先给出几组,让学生观察、比较,概括共同规律,再由学生尝试说出的定义,对程度差的学生可以提示定义的结构:“……的数列叫做”,由学生把限定条件一一列举出来,为等比数列的定义作准备.如果学生给出的定义不准确,可让学生研究讨论,用符合学生的定义但不是的数列作为反例,再由学生修改其定义,逐步完善定义.
③的定义归纳出来后,由学生举一些的例子,以此让学生思考确定一个的条件.
④由学生根据一般数列的表示法尝试表示,前提条件是已知数列的首项与公差.明确指出其图像是一条直线上的一些点,根据图像观察项随项数的变化规律;再看通项公式,项 可看作项数 的一次型( )函数,这与其图像的形状相对应.
⑤有穷的末项与通项是有区别的,数列的通项公式 是数列第 项 与项数 之间的函数关系式,有穷的项数未必是 ,即其末项未必是该数列的第 项,在教学中一定要强调这一点.
⑥前 项和的公式推导离不开的性质,所以在本节课应补充一些重要的性质;另外可让学生研究的子数列,有规律的子数列会引起学生的兴趣.
⑦是现实生活中广泛存在的数列的数学模型,如教材中的例题、习题等,还可让学生去搜集,然后彼此交流,提出相关问题,自己尝试解决,为学生提供相互学习的机会,创设相互研讨的课堂环境.
通项公式的教学设计示例
教学目标
1.通过教与学的互动,使学生加深对通项公式的认识,能参与编拟一些简单的问题,并解决这些问题;
2.利用通项公式求的项、项数、公差、首项,使学生进一步体会方程思想;
3.通过参与编题解题,激发学生学习的兴趣.
教学重点,难点
教学重点是通项公式的认识;教学难点 是对公式的灵活运用.
教学用具
实物投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
研探式.
教学过程
一.复习提问
前一节课我们学习了的概念、表示法,请同学们回忆的定义,其表示法都有哪些?
的概念是从相邻两项的关系加以定义的,这个关系用递推公式来表示比较简单,但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.
二.主体设计
通项公式 反映了项 与项数 之间的函数关系,当的首项与公差确定后,数列的每一项便确定了,可以求指定的项(即已知 求 ).找学生试举一例如:“已知 中,首项 ,公差 ,求 .”这是通项公式的简单应用,由学生解答后,要求每个学生出一些运用通项公式的题目,包括正用、反用与变用,简单、复杂,定量、定性的均可,教师巡视将好题搜集起来,分类投影在屏幕上.
1.方程思想的运用
(1)已知 中,首项 ,公差 ,则-397是该数列的第______项.
(2)已知 中,首项 , 则公差
(3)已知 中,公差 , 则首项
这一类问题先由学生解决,之后教师点评,四个量 , 在一个等式中,运用方程的思想方法,已知其中三个量的值,可以求得第四个量.
2.基本量方法的使用
(1)已知 中, ,求 的值.
(2)已知 中, , 求 .
若学生的题目只有这两种类型,教师可以小结(最好请出题者、解题者概括):因为已知条件可以化为关于 和 的二元方程组,所以这些是确定的,由 和 写出通项公式,便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件(等式)化为关于 和 的二元方程组,以求得 和 , 和 称作基本量.
教师提出新的问题,已知的一个条件(等式),能否确定一个?学生回答后,教师再启发,由这一个条件可得到关于 和 的二元方程,这是一个 和 的制约关系,从这个关系可以得到什么结论?举例说明(例题可由学生或教师给出,视具体情况而定).
如:已知 中, …
由条件可得 即 ,可知 ,这是比较显然的,与之相关的还能有什么结论?若学生答不出可提示,一定得某一项的值么?能否与两项有关?多项有关?由学生发现规律,完善问题
(3)已知 中, 求 ; ; ; ;….
类似的还有
(4)已知 中, 求 的值.
以上属于对数列的项进行定量的研究,有无定性的判断?引出
3.研究的单调性
,考察 随项数 的变化规律.着重考虑 的情况. 此时 是 的一次函数,其单调性取决于 的符号,由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.
4.研究项的符号
这是为研究前 项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如
(1)已知数列 的通项公式为 ,问数列从第几项开始小于0?
(2) 从第________项起以后每项均为负数.
三.小结
1. 用方程思想认识通项公式;
2. 用函数思想解决问题.
四.板书设计
通项公式 1. 方程思想的运用
2. 基本量方法的使用
3. 研究的单调性
4. 研究项的符号
3.1 等差数列 篇8
教学目标
1.理解的概念,掌握的通项公式,并能运用通项公式解决简单的问题.
(1)了解公差的概念,明确一个数列是的限定条件,能根据定义判断一个数列是,了解等差中项的概念;
(2)正确认识使用的各种表示法,能灵活运用通项公式求的首项、公差、项数、指定的项;
(3)能通过通项公式与图像认识的性质,能用图像与通项公式的关系解决某些问题.
2.通过的图像的应用,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过通项公式的运用,渗透方程思想.
3.通过概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新知的创新意识;通过对的研究,使学生明确与一般数列的内在联系,从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.
关于的教学建议
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
①教学重点是的定义和对通项公式的认识与应用,是特殊的数列,定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括,准确把握定义是正确认识,解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系,是研究一个数列的重要工具,的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关,通过函数图象研究数列性质成为可能.
②通过不完全归纳法得出的通项公式,所以是教学中的一个难点;另外, 出现在一个等式中,运用方程的思想,已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多,学生应用时会有一定的困难,通项公式的灵活运用是教学的有一难点.
(3)教法建议
①本节内容分为两课时,一节为的定义与表示法,一节为通项公式的应用.
②定义的引出可先给出几组,让学生观察、比较,概括共同规律,再由学生尝试说出的定义,对程度差的学生可以提示定义的结构:“……的数列叫做”,由学生把限定条件一一列举出来,为等比数列的定义作准备.如果学生给出的定义不准确,可让学生研究讨论,用符合学生的定义但不是的数列作为反例,再由学生修改其定义,逐步完善定义.
③的定义归纳出来后,由学生举一些的例子,以此让学生思考确定一个的条件.
④由学生根据一般数列的表示法尝试表示,前提条件是已知数列的首项与公差.明确指出其图像是一条直线上的一些点,根据图像观察项随项数的变化规律;再看通项公式,项 可看作项数 的一次型( )函数,这与其图像的形状相对应.
⑤有穷的末项与通项是有区别的,数列的通项公式 是数列第 项 与项数 之间的函数关系式,有穷的项数未必是 ,即其末项未必是该数列的第 项,在教学中一定要强调这一点.
⑥前 项和的公式推导离不开的性质,所以在本节课应补充一些重要的性质;另外可让学生研究的子数列,有规律的子数列会引起学生的兴趣.
⑦是现实生活中广泛存在的数列的数学模型,如教材中的例题、习题等,还可让学生去搜集,然后彼此交流,提出相关问题,自己尝试解决,为学生提供相互学习的机会,创设相互研讨的课堂环境.
通项公式的教学设计示例
教学目标
1.通过教与学的互动,使学生加深对通项公式的认识,能参与编拟一些简单的问题,并解决这些问题;
2.利用通项公式求的项、项数、公差、首项,使学生进一步体会方程思想;
3.通过参与编题解题,激发学生学习的兴趣.
教学重点,难点
教学重点是通项公式的认识;教学难点 是对公式的灵活运用.
教学用具
实物投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
研探式.
教学过程
一.复习提问
前一节课我们学习了的概念、表示法,请同学们回忆的定义,其表示法都有哪些?
的概念是从相邻两项的关系加以定义的,这个关系用递推公式来表示比较简单,但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.
二.主体设计
通项公式 反映了项 与项数 之间的函数关系,当的首项与公差确定后,数列的每一项便确定了,可以求指定的项(即已知 求 ).找学生试举一例如:“已知 中,首项 ,公差 ,求 .”这是通项公式的简单应用,由学生解答后,要求每个学生出一些运用通项公式的题目,包括正用、反用与变用,简单、复杂,定量、定性的均可,教师巡视将好题搜集起来,分类投影在屏幕上.
1.方程思想的运用
(1)已知 中,首项 ,公差 ,则-397是该数列的第______项.
(2)已知 中,首项 , 则公差
(3)已知 中,公差 , 则首项
这一类问题先由学生解决,之后教师点评,四个量 , 在一个等式中,运用方程的思想方法,已知其中三个量的值,可以求得第四个量.
2.基本量方法的使用
(1)已知 中, ,求 的值.
(2)已知 中, , 求 .
若学生的题目只有这两种类型,教师可以小结(最好请出题者、解题者概括):因为已知条件可以化为关于 和 的二元方程组,所以这些是确定的,由 和 写出通项公式,便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件(等式)化为关于 和 的二元方程组,以求得 和 , 和 称作基本量.
教师提出新的问题,已知的一个条件(等式),能否确定一个?学生回答后,教师再启发,由这一个条件可得到关于 和 的二元方程,这是一个 和 的制约关系,从这个关系可以得到什么结论?举例说明(例题可由学生或教师给出,视具体情况而定).
如:已知 中, …
由条件可得 即 ,可知 ,这是比较显然的,与之相关的还能有什么结论?若学生答不出可提示,一定得某一项的值么?能否与两项有关?多项有关?由学生发现规律,完善问题
(3)已知 中, 求 ; ; ; ;….
类似的还有
(4)已知 中, 求 的值.
以上属于对数列的项进行定量的研究,有无定性的判断?引出
3.研究的单调性
,考察 随项数 的变化规律.着重考虑 的情况. 此时 是 的一次函数,其单调性取决于 的符号,由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.
4.研究项的符号
这是为研究前 项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如
(1)已知数列 的通项公式为 ,问数列从第几项开始小于0?
(2) 从第________项起以后每项均为负数.
三.小结
1. 用方程思想认识通项公式;
2. 用函数思想解决问题.
四.板书设计
通项公式 1. 方程思想的运用
2. 基本量方法的使用
3. 研究的单调性
4. 研究项的符号
3.1 等差数列 篇9
教学目的:1.明确等差中项的概念.2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式.教学重点:等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用教学难点:灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题一、复习引入1.等差数列的定义;2.等差数列的通项公式:(1),(2),(3)3.有几种方法可以计算公差d
① d= - ② d= ③ d= 二、讲解新课: 问题:如果在 与 中间插入一个数a,使 ,a, 成等差数列数列,那么a应满足什么条件?由定义得a- = -a ,即: 反之,若 ,则a- = -a由此可可得: 成等差数列。也就是说,a= 是a,a,b成等差数列的充要条件定义:若 ,a, 成等差数列,那么a叫做 与 的等差中项。不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列:1,3,5,7,9,11,13…中5是3和7的等差中项,1和9的等差中项。9是7和11的等差中项,5和13的等差中项。注意到, ,……由此猜测:性质:在等差数列中,若m+n=p+q,则, 即 m+n=p+q (m, n, p, q ∈n ) (以上结论由学生证明)但通常 ①由 推不出m+n=p+q ,② 特例:等差数列{an}中,与首尾“等距离”的任意两项和相等.即 三、例题例1在等差数列{ }中,若 + =9, =7, 求 , .分析:要求一个数列的某项,通常情况下是先求其通项公式,而要求通项公式,必须知道这个数列中的至少一项和公差,或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差),本题中,只已知一项,和另一个双项关系式,想到从这双项关系式 + = + =9入手……(答案: =2, =32)例2 等差数列{ }中, + + =-12, 且 · · =80. 求通项 分析:要求通项,仍然是先求公差和其中至少一项的问题。而已知两个条件均是三项复合关系式,欲求某项必须消元(项)或再构造一个等式出来。 (答案: =-10+3 (n-1) = 3n- 13 或 =2 -3 (n-1) = -3n+5)例3在等差数列{ }中, 已知 + + + + =450, 求 + 及前9项和 ( = + + + + + + + + ). 提示:由双项关系式: + =2 , + =2 及 + + + + =450, 得5 =450, 易得 + =2 =180. =( + )+( + )+( + )+( + )+ =9 =810.例4已知a、b、c的倒数成等差数列,那么,a2(b+c), b2(c+a), c2(a+b) 是否成等差数列。分析:将a、b、c的成等差数列转化为a+c=2b,再探索a2(b+c)+b2(c+a)=c2(a+b), 即a2(b+c)+b2(c+a) - c2(a+b) = 0 是否成立.例5 已知两个等差数列5,8,11,…和3,7,11…都有100项,问它们有多少公共项.分析:两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个等差数列,且公差为原来两个公差的最小公倍数.(答案:25个公共项)四、练习:1.在等差数列 中,已知 , ,求首项 与公差 2. 在等差数列 中, 若 求 3.在等差数列 中若 , , 求 五、作业:课本:p114习题3.2 7. 10,11.《精析精练》p117 智能达标训练
3.1 等差数列 篇10
教学目标:(1)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式;
(2) 利用等差数列的通项公式能由a1, d , n ,an“知三求一”,了解等差数列的通项公式的推导过程及思想;
(3)通过作等差数列的图像,进一步渗透数形结合思想、函数思想;通过等差数列的通项公式应用,渗透方程思想。
教学重、难点:等差数列的定义及等差数列的通项公式。
知识结构: 一般数列定义 通项公式法
递推公式法
等差数列 表示法 应用
图示法
性质 列举法
教学过程:
(一)创设情境:
1.观察下列数列:
1,2,3,4,……;(军训时某排同学报数) ①
10000,9000,8000,7000,……;(温州市房价平均每月每平方下跌的价位)②
2,2,2,2,…… ;(坐38路公交车的车费)③
问题:上述三个数列有什么共同特点?(学生会发现很多规律,如都是整数,再举几个非整数等差数列例子让学生观察)
规律:从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一常数。
引出等差数列。
(二)新课讲解:
1.等差数列定义:
一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 表示。
问题:(a)能否用数学符号语言描述等差数列的定义?
用递推公式表示为 或 .
(b)例 1: 观察下列数列是否是等差数列:
(1)1,-1,1,-1,…
( 2 ) 1 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , …
意在强调定义中“同一个常数”
(c)例2:求上述三个数列的公差;公差d可取哪些值?d>0,d=0,d<0时,数列有什么特点
(d有不同的分类,如按整数分数分类,再举几个等差数列的例子观察d的分类对数列的影
响)
说明:等差数列(通常可称为 数列)的单调性: 为递增数列, 为常数列, 为递减数列。
例3:求等差数列13,8,3,-2,…的第5项。第89项呢?
放手让学生利用各种方法求a89,从中找出合适的方法,如利用不完全归纳法或累加法,然
后引出求一般等差数列的通项公式。
2.等差数列的通项公式:已知等差数列 的首项是 ,公差是 ,求 .
(1)由递推公式利用用不完全归纳法得出
由等差数列的定义: , , ,……
∴ , , ,……
所以,该等差数列的通项公式: .
(验证n=1时成立)。
这种由特殊到一般的推导方法,不能代替严格证明。要用数学归纳法证明的。
(2)累加法求等差数列的通项公式
让学生体验推导过程。(验证n=1时成立)
3.例题及练习:
应用等差数列的通项公式
追问 :(1)-232是否为例3等差数列中的项?若是,是第几项?
(2)此数列中有多少项 属于区间[-100,0] ?
法一:求出a1 ,d,借助等差数列的通项公式求a20。
法二:求出d ,a20=a5+15d=a12+8d
在例4基础上,启发学生猜想证明
练习:
梯子的最高一级宽31cm,最低一级宽119cm,中间还有3级,各级的宽度成等差数列,请计算中间各级的宽度。
观察图像特征。
思考:an是关于n的一次式,是数列{an}为等差数列的什么条件?
课后反思:这节课的重点是等差数列定义和通项公式概念的理解,而不是公式的应用,有些应试教育的味道。有时抢学生的回答,没有真正放手让学生的思维发展,学生活动太少,课堂氛围不好。学生对问题的反应出乎设计的意料时,应该顺着学生的思维发展。
3.1 等差数列 篇11
以下是初中数学等差数列(第一课时)说课稿范文,仅供参考。希望大家喜欢!
等差数列(第一课时)说课稿
各位评委老师好,我是4号考生,我今天说课的题目是《等差数列》,我从教材分析,学情教法分析,学法分析,教学过程四方面对本节课的内容加以说明。
一、教材分析
1、教材的地位和作用:
《等差数列》是人教版新课标教材《数学》必修5第二章第二节的内容。数列是高中数学重要内容之一,它不仅有着广泛的实际应用,而且起着承前启后的作用。一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分;另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上,对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。
2、教学目标
根据教学大纲的要求和学生的实际水平,确定了本次课的教学目标
a知识与技能:理解并掌握等差数列的概念;了解等差数列的通项公式的推导过程及思想;初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。培养学生观察、分析、归纳、推理的能力;在领会函数与数列关系的前提下,把研究函数的方法迁移来研究数列,培养学生的知识、方法迁移能力;通过阶梯性练习,提高学生分析问题和解决问题的能力。
b.过程与方法:在教学过程中我采用讨论式、启发式的方法使学生深刻的理解不完全归纳法。
c.情感态度与价值观:通过对等差数列的研究,培养学生主动探索、勇于发现的求知精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
3、教学重点和难点
重点:①等差数列的概念。
②等差数列的通项公式的推导过程及应用。
难点:①等差数列的通项公式的推导
②用数学思想解决实际问题
二、学情教法分析:
对于高一学生,知识经验已较为丰富,具备了一定的抽象思维能力和演绎推理能力,所以我本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法,通过问题激发学生求知欲,使学生主动参与数学实践活动,以独立思考和相互交流的形式,在教师的指导下发现、分析和解决问题。学生在初中时只是简单的接触过等差数列,具体的公式还不会用,因些在公式应用上加强学生的理解
三、学法分析:
在引导分析时,留出学生的思考空间,让学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑,围绕中心各抒己见,把思路方法和需要解决的问题弄清。
四、教学过程
1.创设情景 提出问题
首先要学生回忆数列的有关概念,数列的两种方法——通项公式和递推公式
然后本节课开始通过介绍
3.1 等差数列 篇12
教学目的:1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式. 2.了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题. 教学重点:熟练掌握等差数列的求和公式 教学难点:灵活应用求和公式解决问题 教学过程: 一、复习引入:首先回忆一下上一节课所学主要内容: 1.等差数列的前 项和公式1: 2.等差数列的前 项和公式2: 3. ,当d≠0,是一个常数项为零的二次式 4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:(1) 利用 : 当 >0,d<0,前n项和有最大值。可由 ≥0,且 ≤0,求得n的值。 当 <0,d>0,前n项和有最小值。可由 ≤0,且 ≥0,求得n的值。 (2) 利用 :由 二次函数配方法求得最值时n的值。 二、例题讲解 例1 . 已知等差数列的前 项和为 ,前 项和为 ,求前 项和. 解:由题设 ∴ 而 例2 已知一个等差数列的前四项和为21,后四项和为67,前n项和为286,求项数.
分析:若把有穷数列{an} 的前n项和sn的平均值 叫做数列的平均值,记为 ,即 则sn=n .根据等差数列的性质易知, .(答案:n=26).
例3 等差数列 中, 该数列的前多少项和最小?
思路1:求出sn的函数解析式(n的二次函数, ),再求函数取得最小值时的n值. 思路2:公差下为0的等差数列等差数列前n项和最小的条件为: 思路3:由s9=s12得s12-s9=a10+a11+a12=0得a11=0. 例4. 已知数列{an}的前n 项和 ,求数列{|an|}的前n项和tn. 解: 当 时, ∵n=1也适合上式,∴数列的通项公式为an=-3n+104 ( ) 由an=-3n+104≥0得n≤34.7,即当n≤34时,an>0,当n≥35时an<0.(1) 即当n≤34时,tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an= . (2) 当n≥35时, tn=|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)- (a35+a36+…+an) =2(a1+a2+…+a34)-( a1+a2+…+an)=2s34-sn 三、练习: 1.一个等差数列前4项的和是24,前5项的和与前2项的和的差是27,求这个等差数列的通项公式. 2.两个数列1, , , ……, , 5和1, , , ……, , 5均成等差数列公差分别是 , , 求 与 的值。 3.在等差数列{ }中, =-15, 公差d=3, 求数列{ }的前n项和 的最小值。 四、作业:课时p119习题3.3 9,10, 《精析精练》p122 智能达标训练.
3.1 等差数列 篇13
一、教学内容分析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》(人教版)第二章数列第二节等差数列第一课时。
数列是高中数学重要内容之一,它不仅有着广泛的实际应用,而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分;另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上,对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。
二、学生学习情况分析
教学内容针对的是高二的学生,经过高中一年的学习,大部分学生知识经验已较为丰富,具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力,但也可能有一部分学生的基础较弱,所以在授课时要从具体的生活实例出发,使学生产生学习的兴趣,注重引导、启发学生的积极主动的去学习数学,从而促进思维能力的进一步提高。
三、设计思想
1.教法
⑴诱导思维法:这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点,突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性,发挥其创造性。
⑵分组讨论法:有利于学生进行交流,及时发现问题,解决问题,调动学生的积极性。
⑶讲练结合法:可以及时巩固所学内容,抓住重点,突破难点。 2.学法
引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点,推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。
用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。
在引导分析时,留出“空白”,让学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑,围绕中心各抒己见,把思路方法和需要解决的问题弄清。
四、教学目标
通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念,能用定义判断一个数列是否为等差数列,引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能解决简单的实际问题;并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力,在领会函数与数列关系的前提下,把研究函数的方法迁移来研究数列,培养学生的知识、方法迁移能力。
五、教学重点与难点
重点:
①等差数列的概念。
②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 难点:
①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。 ②理解等差数列是一种函数模型。 关键:
等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。
六、教学过程(略)
3.1 等差数列 篇14
深圳中学 白教授n}是等差数列,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.
二、教授新课(尝试推导)
师:如果已知等差数列的首项a1,项数为n,第n项an,根据等差数列的性质,如何来导出它的前n项和Sn计算公式呢?根据上面的例子同学们自己完成推导,并请一位学生板演。
生4:Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成
Sn=an+an-1+......a2+a1
两式相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)
n个
=n(a1+an)
所以Sn=(I)
师:好!如果已知等差数列的首项为a1,公差为d,项数为n,则an=a1+(n-1)d代入公式(1)得
Sn=na1+ d(II)
上面(I)、(II)两个式子称为等差数列的前n项和公式。公式(I)是基本的,我们可以发现,它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比,这里的上底是等差数列的首项a1,下底是第n项an,高是项数n。引导学生总结:这些公式中出现了几个量?(a1,d,n,an,Sn),它们由哪几个关系联系?[an=a1+(n-1)d,Sn==na1+ d];这些量中有几个可自由变化?(三个)从而了解到:只要知道其中任意三个就可以求另外两个了。下面我们举例说明公式(I)和(II)的一些应用。
三、公式的应用(通过实例演练,形成技能)。
1、直接代公式(让学生迅速熟悉公式,即用基本量观点认识公式)例2、计算:
(1)1+2+3+......+n
(2)1+3+5+......+(2n-1)
(3)2+4+6+......+2n
(4)1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n
请同学们先完成(1)-(3),并请一位同学回答。
生5:直接利用等差数列求和公式(I),得
(1)1+2+3+......+n=
(2)1+3+5+......+(2n-1)=
(3)2+4+6+......+2n==n(n+1)
师:第(4)小题数列共有几项?是否为等差数列?能否直接运用Sn公式求解?若不能,那应如何解答?小组讨论后,让学生发言解答。
生6:(4)中的数列共有2n项,不是等差数列,但把正项和负项分开,可看成两个等差数列,所以
原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)
=n2-n(n+1)=-n
生7:上题虽然不是等差数列,但有一个规律,两项结合都为-1,故可得另一解法:
原式=-1-1-......-1=-n
n个
师:很好!在解题时我们应仔细观察,寻找规律,往往会寻找到好的方法。注意在运用Sn公式时,要看清等差数列的项数,否则会引起错解。
例3、(1)数列{an}是公差d=-2的等差数列,如果a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,求a1,d,S10。
生8:(1)由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12,即a1+d=4
又∵d=-2,∴a1=6
∴S12=12 a1+66×(-2)=-60
生9:(2)由a1+a2+a3=12,a1+d=4
a8+a9+a10=75,a1+8d=25
解得a1=1,d=3 ∴S10=10a1+=145
师:通过上面例题我们掌握了等差数列前n项和的公式。在Sn公式有5个变量。已知三个变量,可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二),请同学们根据例3自己编题,作为本节的课外练习题,以便下节课交流。
师:(继续引导学生,将第(2)小题改编)
①数列{an}等差数列,若a1+a2+a3=12,a8+a9+a10=75,且Sn=145,求a1,d,n
②若此题不求a1,d而只求S10时,是否一定非来求得a1,d不可呢?引导学生运用等差数列性质,用整体思想考虑求a1+a10的值。
2、用整体观点认识Sn公式。
例4,在等差数列{an}, (1)已知a2+a5+a12+a15=36,求S16;(2)已知a6=20,求S11。(教师启发学生解)
师:来看第(1)小题,写出的计算公式S16==8(a1+a6)与已知相比较,你发现了什么?
生10:根据等差数列的性质,有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18,所以S16=8×18=144。
师:对!(简单小结)这个题目根据已知等式是不能直接求出a1,a16和d的,但由等差数列的性质可求a1与an的和,于是这个问题就得到解决。这是整体思想在解数学问题的体现。
师:由于时间关系,我们对等差数列前n项和公式Sn的运用一一剖析,引导学生观察当d≠0时,Sn是n的二次函数,那么从二次(或一次)的函数的观点如何来认识Sn公式后,这留给同学们课外继续思考。
最后请大家课外思考Sn公式(1)的逆命题:
已知数列{an}的前n项和为Sn,若对于所有自然数n,都有Sn=。数列{an}是否为等差数列,并说明理由。
四、小结与作业 。
师:接下来请同学们一起来小结本节课所讲的内容。
生11:1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式。
2、用所推导的两个公式解决有关例题,熟悉对Sn公式的运用。
生12:1、运用Sn公式要注意此等差数列的项数n的值。
2、具体用Sn公式时,要根据已知灵活选择公式(I)或(II),掌握知三求二的解题通法。
3、当已知条件不足以求此项a1和公差d时,要认真观察,灵活应用等差数列的有关性质,看能否用整体思想的方法求a1+an的值。
师:通过以上几例,说明在解题中灵活应用所学性质,要纠正那种不明理由盲目套用公式的学习方法。同时希望大家在学习中做一个有心人,去发现更多的性质,主动积极地去学习。
本节所渗透的数学方法;观察、尝试、分析、归纳、类比、特定系数等。
数学思想:类比思想、整体思想、方程思想、函数思想等。
作业 :P49:13、14、15、17
3.1 等差数列 篇15
教学目标
1.把握等差数列前 项和的公式,并能运用公式解决简单的问题.
(1)了解等差数列前 项和的定义,了解逆项相加的原理,理解等差数列前 项和公式推导的过程,记忆公式的两种形式;
(2)用方程思想熟悉等差数列前 项和的公式,利用公式求 ;等差数列通项公式与前 项和的公式两套公式涉及五个字母,已知其中三个量求另两个值;
(3)会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.
2.通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从非凡到一般,再从一般到非凡的思维规律,初步形成熟悉问题,解决问题的一般思路和方法.
3.通过公式推导的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的练习,发展学生的思维水平.
4.通过公式的推导过程,展现数学中的对称美;通过有关内容在实际生活中的应用,使学生再一次感受数学源于生活,又服务于生活的实用性,引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题,并数学地解决问题.
教学建议
(1)知识结构
本节内容是等差数列前 项和公式的推导和应用,首先通过具体的例子给出了求等差数列前 项和的思路,而后导出了一般的公式,并加以应用;再与等差数列通项公式组成方程组,共同运用,解决有关问题.
(2)重点、难点分析
教学重点是等差数列前 项和公式的推导和应用,难点是公式推导的思路.
推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路,即从非凡问题的解决中提炼一般方法,再试图运用这一方法解决一般情况,所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重要.等差数列前 项和公式有两种形式,应根据条件选择适当的形式进行计算;另外反用公式、变用公式、前 项和公式与通项公式的综合运用体现了方程(组)思想.
高斯算法表现了大数学家的聪明和巧思,对一般学生来说有很大难度,但大多数学生都听说过这个故事,所以难点在于一般等差数列求和的思路上.
(3)教法建议
①本节内容分为两课时,一节为公式推导及简单应用,一节侧重于通项公式与前 项和公式综合运用.
②前 项和公式的推导,建议由具体问题引入,使学生体会问题源于生活.
③强调从非凡到一般,再从一般到非凡的思考方法与研究方法.
④补充等差数列前 项和的最大值、最小值问题.
⑤用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式.
等差数列的前项和公式教学设计示例
教学目标
1.通过教学使学生理解等差数列的前 项和公式的推导过程,并能用公式解决简单的问题.
2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从非凡到一般,再从一般到非凡的思想方法,通过公式的运用体会方程的思想.
教学重点,难点
教学重点是等差数列的前 项和公式的推导和应用,难点是获得推导公式的思路.
教学用具
实物投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
讲授法.
教学过程
一.新课引入
提出问题(播放媒体资料):一个堆放铅笔的v形架的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放100支.这个v形架上共放着多少支铅笔?(课件设计见课件展示)
问题就是(板书)“ ”
这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样算的.(由一名学生回答,再由学生讨论其高明之处)高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.
我们希望求一般的等差数列的和,高斯算法对我们有何启发?
二.讲解新课
(板书)等差数列前 项和公式
1.公式推导(板书)
问题(幻灯片):设等差数列 的首项为 ,公差为 , 由学生讨论,研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.
思路一:运用基本量思想,将各项用 和 表示,得
,有以下等式
,问题是一共有多少个 ,似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.
思路二:
上面的等式其实就是 ,为回避个数问题,做一个改写 , ,两式左右分别相加,得
,
于是有: .这就是倒序相加法.
思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得 ,于是 .
于是得到了两个公式(投影片): 和 .
2.公式记忆
用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式,这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差数列前 项和的两个公式.
3.公式的应用
公式中含有四个量,运用方程的思想,知三求一.
例1.求和:(1) ;
(2) (结果用 表示)
解题的关键是数清项数,小结数项数的方法.
例2.等差数列 中前多少项的和是9900?
本题实质是反用公式,解一个关于 的一元二次函数,注重得到的项数 必须是正整数.
三.小结
1.推导等差数列前 项和公式的思路;
2.公式的应用中的数学思想.
四.板书设计
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