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下学期 5.3实数与向量的积

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下学期 5.3实数与向量的积(通用2篇)WGR易文君-文库范文网

下学期 5.3实数与向量的积 篇1

  (第一课时)WGR易文君-文库范文网

  一.教学目标 WGR易文君-文库范文网

  1.理解并掌握实数与向量的积的意义.WGR易文君-文库范文网

  2.理解两个向量共线的充要条件,能根据条件判断两个向量是否共线;WGR易文君-文库范文网

  3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力,了解事物运动变化的辩证思想.WGR易文君-文库范文网

  二.教学重点:实数与向量的积的定义、运算律,向量共线的充要条件;WGR易文君-文库范文网

  教学难点 :理解实数与向量的积的定义,向量共线的充要条件;WGR易文君-文库范文网

  三.教学具准备WGR易文君-文库范文网

  直尺、投影仪.WGR易文君-文库范文网

  四.教学过程 WGR易文君-文库范文网

  1.设置情境WGR易文君-文库范文网

  我们知道,位移、力、速度、加速度等都是向量,而时间、质量等都是数量,这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现,如力与加速度的关系f=ma,位移与速度的关系s=vt.这些公式都是实数与向量间的关系.WGR易文君-文库范文网

  师:我们已经学习了向量的加法,请同学们作出 和 向量,(已知向量已作在投影片上),并请同学们指出相加后,和的长度与方向有什么变化?这些变化与哪些因素有关?WGR易文君-文库范文网

  生: 的长度是 的长度的3倍,其方向与 的方向相同, 的长度是 长度的3倍,其方向与 的方向相反.WGR易文君-文库范文网

  师:很好!本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题,(板书课题:实数与向量的乘积(一))WGR易文君-文库范文网

  2.探索研究WGR易文君-文库范文网

  师:请大家根据上述问题并作一下类比,看看怎样定义实数与向量的积?可结合教材思考.WGR易文君-文库范文网

  生:我想这样规定:实数 与向量 的积就是 ,它还是一个向量.WGR易文君-文库范文网

  师:想法很好.不过我们要对实数 与向量 相乘的含义作一番解释才行.WGR易文君-文库范文网

  实数 与向量 的积是一个向量,记作 ,它的长度和方向规定如下:WGR易文君-文库范文网

  (1)WGR易文君-文库范文网

  (2) 时, 的方向与 的方向相同;当 时, 的方向与 的方向相反;特别地,当 或 时,WGR易文君-文库范文网

  下面我们讨论作为数乘向量的基本运算律:WGR易文君-文库范文网

  师:求作向量 和 ( 为非零向量)并进行比较,向量 与向量 相等吗?(引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较)WGR易文君-文库范文网

  生: ,WGR易文君-文库范文网

  师:设 、 为任意向量, , 为任意实数,则有:WGR易文君-文库范文网

  (1) (2) (3)WGR易文君-文库范文网

  通常将(1)称为结合律,(2)(3)称为分配律,有时为了区别,也把(2)叫第一分配律,(3)叫第二分配律.WGR易文君-文库范文网

  请看例题WGR易文君-文库范文网

  【例1】计算:(1) , (2) .WGR易文君-文库范文网

  (3)WGR易文君-文库范文网

  解:(1)原式WGR易文君-文库范文网

  (2)原式WGR易文君-文库范文网

  (3)原式 .WGR易文君-文库范文网

  下面我们研究共线向量与实乘向量的关系.WGR易文君-文库范文网

  师:请同学们观察 , ,有什么关系.WGR易文君-文库范文网

  生:因为 ,所以 、 是共线向量.WGR易文君-文库范文网

  师:若 、 是共线向量,能否得出 ?为什么,可得出 吗?为什么?WGR易文君-文库范文网

  生:可以!因为 、 共线,它们的方向相同或相反.WGR易文君-文库范文网

  师:由此可得向量共线的充要条件.向量 与非零向量 共线的充分必要条件是有且仅有一个实数 ,使得WGR易文君-文库范文网

  此即教材中的定理.WGR易文君-文库范文网

  对此定理的证明,是两层来说明的.WGR易文君-文库范文网

  其一,若存在实数 ,使 ,则由实数与向量乘积定义中的第(2)条知 与 共线,即 与 共线.WGR易文君-文库范文网

  其二,若 与 共线,且不妨令 ,设 (这是实数概念).接下来看 、 方向如何:① 、 同向,则 ,②若 、 反向,则记 ,总而言之,存在实数 ( 或 )使 .WGR易文君-文库范文网

  【例2】如图:已知 , ,试判断 与 是否共线.WGR易文君-文库范文网

  解:∵ WGR易文君-文库范文网

  ∴ 与 共线.WGR易文君-文库范文网

  练习(投影仪)WGR易文君-文库范文网

  设 、 是两个不共线向量,已 , ,若 、 、 三点共线,求 的值.WGR易文君-文库范文网

  参考答案WGR易文君-文库范文网

  ∵ 、 、 三点共线.WGR易文君-文库范文网

  ∴ 、 共线 存在实数 ,使WGR易文君-文库范文网

  即WGR易文君-文库范文网

  ∴ ,WGR易文君-文库范文网

  3.练习反馈(投影仪)WGR易文君-文库范文网

  (1)若 为 的对角线交点, , ,则 等于(     )WGR易文君-文库范文网

  A.          B.          C.            D.WGR易文君-文库范文网

  (2)在△ 中,点 、 、 分别是边 、 、 的中点,那么 .WGR易文君-文库范文网

  (3)如图所示,在平行四边形 中, 是 中点,点 是 上一点, 求证 、 、 三点共线.WGR易文君-文库范文网

  参考答案WGR易文君-文库范文网

  (1)B; (2) ;WGR易文君-文库范文网

  (3)设 , 则 又 ,∴ ∴ 、 、 共线.WGR易文君-文库范文网

  4.总结提炼WGR易文君-文库范文网

  (1) 与 的积还是向量, 与 是共线的.WGR易文君-文库范文网

  (2)一维空间向量的基本定理的内容和证明思路,也是应用该定理解决问题的思路.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.WGR易文君-文库范文网

  (3)运算律暗示我们,化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项.WGR易文君-文库范文网

  五.板书设计 WGR易文君-文库范文网

  1.实数与向量的积定义WGR易文君-文库范文网

  2.运算律WGR易文君-文库范文网

  ①WGR易文君-文库范文网

  ②WGR易文君-文库范文网

  ③WGR易文君-文库范文网

  3.向量共线定理WGR易文君-文库范文网

  例1WGR易文君-文库范文网

  2WGR易文君-文库范文网

  演练反馈WGR易文君-文库范文网

  总结提炼WGR易文君-文库范文网

下学期 5.3实数与向量的积 篇2

  (第二课时)WGR易文君-文库范文网

  一.教学目标 WGR易文君-文库范文网

  1.了解平面向量基本定理的证明.掌握平面向量基本定理及其应用;WGR易文君-文库范文网

  2.能够在解题中适当地选择基底,使其它向量能够用选取的基底表示.WGR易文君-文库范文网

  二.教学重点:平面向量基本定理WGR易文君-文库范文网

  教学难点 :理解平面向量基本定理.WGR易文君-文库范文网

  三.教学具准备WGR易文君-文库范文网

  直尺、投影仪.WGR易文君-文库范文网

  四.教学过程 WGR易文君-文库范文网

  1.设置情境WGR易文君-文库范文网

  上节课我们学习了共线向量的基本定理,通过它们判定两个向量是否平行,而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来.这个非零向量叫基向量.那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢?如果是这样的话,对平面上任一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了.WGR易文君-文库范文网

  2.探索研究WGR易文君-文库范文网

  师:向量 与非零向量 共线的充要条件是什么?WGR易文君-文库范文网

  生:有且仅有一个实数 ,使得 WGR易文君-文库范文网

  师:如何作出向量 ?WGR易文君-文库范文网

  生:在平面上任取一点 ,作 , ,则 WGR易文君-文库范文网

  师:对!我们知道向量 是向量 与 的合成, 、 也可以看做是由向量 的分解,是不是每一个向量都可以分解两个不共线的向量呢?WGR易文君-文库范文网

  平面向量基本定理:如果 、 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 , 使WGR易文君-文库范文网

  我们把不共线的向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.WGR易文君-文库范文网

  说明:①实数 , 的确定是由平面几何作图得到的,同时也应用了上节课的共线向量基本定理.WGR易文君-文库范文网

  ②对该定理重在使用.WGR易文君-文库范文网

  下面看例题WGR易文君-文库范文网

  【例1】已知向量 、 ,求作 .WGR易文君-文库范文网

  【例2】如图所示, 的两条对角线相交于点 ,且 , ,用 、 表示 、 、 和 ?WGR易文君-文库范文网

  解:在 中WGR易文君-文库范文网

  ∵ WGR易文君-文库范文网

  ∴ WGR易文君-文库范文网

  说明:①这些表示方法很常用,要熟记WGR易文君-文库范文网

  ②用向量法讨论几何问题,关键是选取适当的基向量表示其他向量,本题的基底就是 、 ,由它可以“生”成 , ,…….WGR易文君-文库范文网

  【例3】如图所示,已知 的两条对角线 与 交于 , 是任意一点,求证 WGR易文君-文库范文网

  证明:∵ 是对角线 和 的交点WGR易文君-文库范文网

  ∴ , .在△ 中, WGR易文君-文库范文网

  同理:WGR易文君-文库范文网

  相加可得: WGR易文君-文库范文网

  注:本题也可以取基本向量 , , , ,利用三角形中线公式(向量),得 两种表示方式:WGR易文君-文库范文网

  ① WGR易文君-文库范文网

  ② WGR易文君-文库范文网

  ①+②得 证毕.WGR易文君-文库范文网

  【例4】如图所示 、 不共线, ( ),用 , 表示 .WGR易文君-文库范文网

  解   ∵ WGR易文君-文库范文网

  ∴WGR易文君-文库范文网

  说明:①本题是个重要题型:设 为平面上任一点.WGR易文君-文库范文网

  则: 、 、 三点共线 WGR易文君-文库范文网

  或令 , 则 、 、 三点共线 (其中 )WGR易文君-文库范文网

  ②当 时, 常称为△ 的中线公式(向量式).WGR易文君-文库范文网

  3.演练反馈WGR易文君-文库范文网

  (1)命题 :向量 与 共线;命题 :有且只有一个实数 ,使 ;则 是 的(      )WGR易文君-文库范文网

  A.充分不必要条件               B.必要不充分条件WGR易文君-文库范文网

  C.充要条件                     D.不充分不必要条件WGR易文君-文库范文网

  (2)已知 和 不共线,若 与 共线,则实数 的值等于____________.WGR易文君-文库范文网

  (3)如图△ 中,点 是 的中点,点 在边 上,且 , 与 相交于点 ,求 的值.WGR易文君-文库范文网

  参考答案:WGR易文君-文库范文网

  (1)B (2) WGR易文君-文库范文网

  (3)解:(如图)设 , ,则 ,WGR易文君-文库范文网

  ,∵ 、 、 和 、 、 分别共线,∴存在 、 ,使 , .WGR易文君-文库范文网

  故 ,而 .WGR易文君-文库范文网

  ∴由基本定理得 ∴ ∴ ,即 WGR易文君-文库范文网

  4.总结提炼WGR易文君-文库范文网

  (1)当平面内取定一组基底 , 后,任一向量 都被 、 惟一确定,其含义是存在惟一这数对 ,使 ,则必有 且 .WGR易文君-文库范文网

  (2)三点 、 、 共线 (其中 且 )WGR易文君-文库范文网

  五.板书设计 WGR易文君-文库范文网

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